Eisensteinin kriteeri

Eisensteinin kriteeri on polynomin pelkistämättömyyden kriteeri, joka on nimetty saksalaisen matemaatikon Ferdinand Eisensteinin mukaan . (Perinteisestä) nimestä huolimatta se on juuri merkki eli riittävä ehto - mutta ei ollenkaan välttämätön, kuten voisi olettaa sanan " kriteeri " matemaattisen merkityksen perusteella (katso alla).

Sanamuoto

Olkoon polynomi tekijärenkaan R ( ) yli , ja jollekin alkuluvulle seuraavat ehdot täyttyvät: $a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ $n>0$ $s$

$p\nmid a_{n}$ (eli ei jaollinen : llä ), $a_n$ $s$
$p\mid a_{i}$ mille tahansa i:lle 0 - n-1,
$p^{2}\nmid a_{0}$ .

Tällöin polynomi on redusoitumaton F :n , renkaan R murto-osien kentän yli . $kirves)$

Tätä kriteeriä käytetään useimmiten, kun R on kokonaislukujen rengas ja F on rationaalisten lukujen kenttä . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Todiste

Oletetaan päinvastoin: , missä ja ovat polynomeja F :n yläpuolella, joiden asteet eivät ole nolla. Gaussin lemasta seuraa , että niitä voidaan pitää polynomeina R :n yläpuolella. Meillä on: $a(x)=f(x)g(x)$ $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}$ $g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}$

$a_{0}=b_{0}c_{0}$

Oletuksena , Ja R on tekijä, joten joko tai , mutta ei molempia, koska . Anna ja . Kaikki kertoimet eivät voi olla jaollisia : llä , koska muuten se olisi totta . Antaa olla vähimmäisindeksi, joka ei ole jaollinen . Tämä tarkoittaa: $p\mid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\mid c_{0}$ $p^{2}\nmid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $f(x)$ $s$ $kirves)$ $i$ $b_{i}$ $s$

$a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{{i-1}}c_{1}+...$

Siitä lähtien ja kaikille sitten , mutta tämä on mahdotonta, koska ehdolla ja . Lause on todistettu. $p\mid a_{i}$ $p\mid b_{j}$ $j<i$ $p\mid b_{i}c_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $p\nmid b_{i}$

Esimerkkejä

Polynomi on redusoitumaton $x^{3}+2$ ${\mathbb Q}.$
Ympyränjakopolynomi on redusoitumaton. Itse asiassa, jos se on pelkistävissä, niin polynomi on myös pelkistävissä ja koska kaikki sen kertoimet ensimmäistä lukuun ottamatta ovat binomiaalisia, eli ne ovat jaollisia : lla , koska , ja viimeinen kerroin ei myöskään ole jaollinen Eisensteinin kriteerillä , se on redusoitumaton, toisin kuin oletetaan . $f(x)=x^{{p-1}}+x^{{p-2}}+...+1$ $f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{{p-1}}+C_{p}^{ 1}x^{{p-2}}+...C_{p}^{{p-1}}$ $s$ $p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!)}$ $C_{p}^{{p-1}}=p$ $p^{2},$
Polynomi over on esimerkki, joka osoittaa, että Eisensteinin kriteeri ( "on olemassa p sellainen, että ...; silloin polynomi on redusoitumaton" ) on vain riittävä, mutta ei välttämätön ehto. Itse asiassa vapaan termin ainoa alkujakaja on , mutta 4 on jaollinen - joten Eisensteinin kriteeri ei sovellu tähän. Toisaalta 3. asteen polynomina ilman rationaalisia juuria tämä polynomi on redusoitumaton. $x^{3}+4$ $\mathbb {Q}$ $p = 2$ $2^{2}$