Paloittain määritelty toiminto

Paloittainen funktio on yhden muuttujan funktio , joka on määritelty reaalilukujoukolle ja joka määritellään erillisellä kaavalla (tai muulla funktion määrittelytavalla) jokaisella sen määritelmän alueen muodostavilla intervalleilla .

Palloittainen affiininen funktio on yhden muuttujan numeerinen funktio siten, että sen koko määrittelyalue voidaan "jakaa" intervalleihin siten, että funktio on affiini kunkin intervallin sisällä.

Muodollinen määritelmä ja tehtävä

Olkoon annettu funktiomäärityksen muutospisteet. $x_{1}<x_{2}<\lpisteet <x_{n}$

Paloittain määritellyt funktiot määritetään yleensä jokaiselle intervalleille erikseen. Muodollisesti tämä on kirjoitettu näin: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2} \\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$ .

Joillakin aikaväleillä tai joissain kohdissa, yleisessä tapauksessa, paloittain annettua funktiota ei välttämättä ole määritelty.

Palloittainen funktiotyypit

Jos kaikki funktiot ovat vakioita, niin se on paloittain vakiofunktio. $f(x)$
Jos kaikki funktiot ovat lineaarisia funktioita , niin se on paloittain lineaarinen funktio . $korjata)$ $f(x)$
Jos kaikki funktiot ovat jatkuvia funktioita , niin se on paloittain jatkuva funktio . Se ei kuitenkaan välttämättä ole jatkuvaa. $korjata)$ $f(x)$
Jos kaikki funktiot ovat differentioituvia funktioita , niin se on paloittain sileä funktio . Tässä tapauksessa funktioiden muutospisteet voivat olla tai eivät voi olla katkeamispisteitä. $korjata)$ $f(x)$
Jos kaikki funktiot ovat yksitoikkoisia funktioita , niin se on paloittain monotonifunktio . Samanaikaisesti vierekkäisillä aikaväleillä ensimmäisen derivaatan etumerkki voi olla erilainen, eli kasvavia tai pienentäviä funktioita. $korjata)$ $f(x)$

Esimerkkejä yleisesti käytetyistä palafunktioista

Absoluuttinen arvo (moduuli) . $y=|x|$
merkkitoiminto . $y=\operaattorin nimi {sgn}(x)$
Heaviside-toiminto $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Paloittainen lineaarinen funktio .
Spline .
B-spliini .