Kahlerian jakoputki

Kahlerian monisto on monimutkainen , jossa on kolme keskenään yhteensopivaa rakennetta: monimutkainen rakenne , Riemannilainen metriikka ja symplektinen muoto .

Nimetty saksalaisen matemaatikon Erich Köhlerin mukaan .

Määritelmät

Symplektisenä monimuotoisena: Kählerin monisto on symplektinen monimutkainen , jolla on integroituva lähes monimutkainen rakenne , joka on yhdenmukainen symplektisen muodon kanssa . ${\näyttötyyli (K,\omega )}$

Monimutkaisena monimutkaisena: Kählerin monisto on hermiittinen monisto , jolla on suljettu hermiittinen muoto. Tällaista hermiitistä muotoa kutsutaan Kähleriksi.

Määritelmien välinen yhteys

Olkoon hermiittinen muoto , symplektinen muoto ja lähes monimutkainen rakenne . Johdonmukaisuus tarkoittaa, että muoto : $h$ $\omega$ $J$ $\omega$ $J$

g(u,v)=\omega (u,Jv)

on riemannilainen; eli positiivinen definite. Näiden rakenteiden välinen yhteys voidaan ilmaista identiteetillä:

h=gi\omega .

Kähler-potentiaali

Monimutkaisessa monistossa jokainen tiukasti moniharmoninen funktio muodostaa Kähler-muodon $K$ $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

Tässä tapauksessa funktiota kutsutaan muodon Kähler-potentiaaliksi . $\rho$ $\omega$

Paikallisesti päinvastoin. Tarkemmin sanottuna jokaiselle Kählerin moniston pisteelle on olemassa naapuruus ja funktio $s$ ${\näyttötyyli (K,\omega )}$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

Tätä kutsutaan lomakkeen paikalliseksi Kähler-potentiaaliksi . $\rho$ $\omega$

Esimerkkejä

Monimutkainen euklidinen avaruus normaalilla hermitiläisellä muodolla. $\mathbb{C}^n$
Jokainen Riemannilainen metriikka suuntautuvalla pinnalla määrittelee Kählerin moniston, koska sulkeutuminen on triviaali todellisessa ulottuvuudessa kaksi. $\omega$
Monimutkainen projektiotila Fubini-tutkimuksen metriikan avulla . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Indusoitu metriikka monimutkaisella osajaostolla Kählerin monistossa.
- Erityisesti mikä tahansa Stein-muunnelma ja mikä tahansa projektiivinen algebrallinen muunnelma .
- Kodairan upotuslauseen mukaan Kählerin monisto, joka sallii positiivisen nipun viivakuidun kanssa, upotetaan projektitiiviseen tilaan.
K3 pinnat
Tärkeä Kähler-jakotukkien alaluokka ovat Calabi-Yau jakotukit .

Katso myös

Melkein monimutkainen monimutkainen

Kirjallisuus

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Kähler-monistojen todellinen homotoopiateoria // Invent. Matematiikka. - 1975. - T. 29 . — S. 245–274 . - doi : 10.1007/BF01389853 .
E. Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Matematiikka. Sem. Univ. Hampuri. - 1933. - T. 9 . — S. 173–186 . - doi : 10.1007/BF02940642 .
R. Hartshorne. Algebrallinen geometria. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry ja Tilman Wurzbacher, toim. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Luennot Kahlerin geometriasta. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Weil . Introduction à l'étude des variétés kählériennes. – 1958.