Burnside lemma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. heinäkuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Burnsiden lemma (tai Cauchy-Frobenius-lemma ) on kombinatorisen ryhmäteorian klassinen tulos, joka antaa lausekkeen ryhmätoiminnan ratamäärälle . Burnsiden lemma on Redfield-Polyi-lauseen todistuksen taustalla .

Sanamuoto

Antaa olla rajallinen ryhmä toimii asetettu . _ Tällöin toimintoratojen lukumäärä on yhtä suuri kuin elementtien kiinteiden pisteiden keskimääräinen lukumäärä . $G$ $X$ $X$ $G$

Tarkemmin sanottuna mitä tahansa elementtiä osoitteesta merkitsemme paikoilleen jätettyjen elementtien joukolla , eli $g$ $G$ $X^{g}$ $X$ $g$

X^{g}=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.

Sitten ( luonnollinen luku tai ääretön)

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

tässä tarkoittaa toimintaratojen lukumäärää . $|X/G|$

Todiste

Ratamäärä on yhtä suuri , mutta kiertoradan kaavan mukaan , missä tarkoittaa elementin stabilaattoria, summa on yhtä suuri kuin . Kirjoitetaan kaikki elementit sarakkeeseen ja kirjoitetaan jokaisen viereen ne elementit , jotka jättävät tämän elementin liikkumattomaksi. Tällöin ryhmän mielivaltainen elementti esiintyy saman monta kertaa kuin se jättää elementit liikkumattomiksi, eli täsmälleen kerran, ja siksi summa on yhtä suuri kuin summa , kuten todettiin. $\sum _{m\in X}{\frac {1}{|Orb(m)|}}$ $|Orb(m)|=[G:G_{m}]={\frac {|G|}{|G_{m}|}}$ $G_{m}$ $m$ ${\frac {1}{|G|}}\sum _{m\in X}|G_{m}|$ $X$ $m$ $G$ $g$ $G$ $X$ $|X^{g}|$ $\sum _{m\in X}|G_{m}|$ $\sum _{g\in G}|X^{g}|$

Seuraukset

Jos joukossa olevan äärellisen ryhmän toiminta on transitiivinen , niin $G$ $X$

\sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|.

Historia

William Burnside muotoili ja todisti tämän lemman (ilman tekijää) yhdessä kirjassaan ( 1897 ), mutta matematiikan historioitsijat ovat havainneet, ettei hän ollut ensimmäinen, joka löysi sen. Cauchy vuonna 1845 ja Frobenius vuonna 1887 tiesivät myös tämän kaavan. Ilmeisesti lemma oli niin tunnettu, että Burnside yksinkertaisesti jätti Cauchyn attribuutioimatta. Siksi tätä lemmaa kutsutaan joskus ei-Burnside-lemmaksi . Tämä otsikko ei ole niin epämääräinen kuin miltä näyttää: Burnsiden työ oli niin hedelmällistä, että suurin osa tämän alueen lemmoista on hänen.

Kirjallisuus

Burnside, William. Teoria äärellisen järjestyksen ryhmistä . - Cambridge University Press , 1897.
Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order , Cambridge University Press , Project Gutenberg ja täällä Archive.org . (Tämä on ensimmäinen painos; toisen painoksen johdanto sisältää Burnsiden kuuluisan käänteen esitysteorioiden hyödyllisyydestä .)
Frobenius, Ferdinand Georg (1887), Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle T. CI: 288 .
Neumann, Peter M. (1979), Lemma, joka ei ole Burnsiden, The Mathematical Scientist osa 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685 .
Rotman, Joseph (1995), Johdatus ryhmien teoriaan , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 .

Linkit

R. Borcherds , Ryhmäteoria 10: Burnsiden lemma YouTubessa