Gaussin lemma geodesiikasta

Gaussin geodeettinen lemma väittää, että mikä tahansa riittävän pieni pallo , jonka keskipiste on Riemannin monimutkaisessa pisteessä, on kohtisuorassa jokaiseen geodeettiseen pisteen läpi.

Lemmaa käytetään osoittamaan, että geodetiikka ovat paikallisesti lyhimpiä käyriä , ja sillä on perustavanlaatuinen merkitys geodeettisen kuperuuden ja normaalikoordinaattien tutkimuksessa .

Sanamuoto

Merkitään tangenttiavaruutta Riemannin moniston pisteessä ja on eksponentiaalinen kartta . Huomaa, että minkä tahansa vektorin tangenttiavaruus voidaan tunnistaa itse tangenttiavaruudesta .

Mille tahansa

missä tarkoittaa eksponentiaalisen kuvauksen differentiaalia .

Linkit