Gaussin lemma geodesiikasta

Gaussin geodeettinen lemma väittää, että mikä tahansa riittävän pieni pallo , jonka keskipiste on Riemannin monimutkaisessa pisteessä, on kohtisuorassa jokaiseen geodeettiseen pisteen läpi.

Lemmaa käytetään osoittamaan, että geodetiikka ovat paikallisesti lyhimpiä käyriä , ja sillä on perustavanlaatuinen merkitys geodeettisen kuperuuden ja normaalikoordinaattien tutkimuksessa .

Sanamuoto

Merkitään tangenttiavaruutta Riemannin moniston pisteessä ja on eksponentiaalinen kartta . Huomaa, että minkä tahansa vektorin tangenttiavaruus voidaan tunnistaa itse tangenttiavaruudesta . $T_{p}$ $s$ $(M,g)$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x\in T_{p}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

Mille tahansa $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

missä tarkoittaa eksponentiaalisen kuvauksen differentiaalia . ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x))$

Linkit

Gaussin lemman johtaminen Hamiltonin mekaniikkaan YouTubessa