Lineaarinen differentiaaliyhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.9.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Matematiikassa lineaarisella differentiaaliyhtälöllä on muoto

Ly=f

jossa differentiaalioperaattori L on lineaarinen , y on tunnettu funktio ja oikea puoli on saman muuttujan funktio kuin y . ${\näyttötyyli y=y(t)}$ $f=f(t)$

Lineaarioperaattoria L voidaan tarkastella muodossa

L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n))}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1} y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y

Lisäksi, jos , niin tällaista yhtälöä kutsutaan lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi, muuten lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi. $f(t)\equiv 0$

Yhtälöt muuttuvilla kertoimilla

Lineaarisella differentiaaliyhtälöllä , jonka kertaluku on n , vaihtelevilla kertoimilla on yleinen muoto

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x)

Esimerkki

Suunnittelussa käytetty Cauchy–Euler-yhtälö on yksinkertainen esimerkki lineaarisesta differentiaaliyhtälöstä, jossa on muuttuvat kertoimet.

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{ 0}y(x)=0

Ensimmäisen kertaluvun yhtälö

Esimerkki

Yhtälön ratkaisu

y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2

alkuehtojen kanssa

y\left(0\right)=2

Meillä on yleinen ratkaisu

y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)

Epämääräisen integraalin ratkaiseminen

y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)

Voidaan yksinkertaistaa

{\displaystyle y=2/3+\kappa e^{-3x))

missä 4/3, sen jälkeen kun alkuolosuhteet on korvattu liuokseen. $\kappa=$

Ensimmäisen asteen lineaarisella differentiaaliyhtälöllä, jolla on muuttuvat kertoimet, on yleinen muoto

{\näyttötyyli y'(x)+f(x)y(x)=g(x)}

Tässä muodossa olevat yhtälöt voidaan ratkaista kertomalla integroivalla kertoimella

{\displaystyle e^{\int f(x)\,dx))

Yhtälö kirjoitetaan

y'(x)e^{{\int f(x)\,dx}}+f(x)y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=g(x)e ^{{\int f(x)\,dx}}),

Koska vasen puoli muodostaa tuotteen eron

\left(y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\oikea)'=g(x)e^({\int f(x)\,dx}}

Mikä molempien osien integroinnin jälkeen johtaa

y(x)e^{{\int f(x)\,dx}}=\int g(x)e^({\int f(x)\,dx}}\,dx+C~,

y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{{\int f(x)\,dx}}\,dx+C}{e^{{\int f(x)\,dx }}}}~.

Siten ensimmäisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu

y'(x)+f(x)y(x)=g(x),

(erityisesti vakiokertoimilla) on muotoa

y(x)=e^{{-{\int {f(x)\,dx))))\left(\int g(x)e^{{\int {f(x)\,dx)) }\,dx+C\oikea)

missä on integrointivakio. $C$

Esimerkki

Otetaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla:

{\frac {dy}{dx}}+by=1.

Tämä yhtälö on erityisen tärkeä ensimmäisen asteen järjestelmille, kuten RC-piireille ja massan vaimentimelle.[ termi tuntematon ] järjestelmät.

Tässä tapauksessa p ( x ) = b, r ( x ) = 1.

Ratkaisu on siis:

y(x)=e^{{-bx}}\left(e^{{bx}}/b+C\right)=1/b+Ce^{{-bx}}.

Katso myös

Greenin funktiomenetelmä

Yhtälöt vakiokertoimilla