Markovin hetki

Matematiikassa pysähdyspisteteoria tai Markovin aika liittyy ongelmaan ajoittaa tietyn toimenpiteen suorittamiseen odotetun palkkion maksimoimiseksi tai odotettujen kustannusten minimoimiseksi. Pysähdyspisteongelma löytyy tilastojen , taloustieteen ja talousmatematiikan aloilta (liittyy amerikkalaisten optioiden hinnoitteluun ). Merkittävin esimerkki pysähtymishetkeen liittyvästä on Picky Bride Problem . Pysäytyshetken ongelma voidaan usein kirjoittaa Bellmanin yhtälön muotoon ja siksi se ratkaistaan usein dynaamisen ohjelmoinnin avulla .

Määritelmä

Diskreettiaikainen tapaus

Pysähtymishetken ongelma liittyy yleensä kahteen kohteeseen:

Satunnaismuuttujien sarja, joiden yhteisjakauma oletetaan tunnetuksi $X_{1},X_{2},\ldots$
Sarja "palkitsevia" toimintoja , jotka riippuvat satunnaismuuttujien havaituista arvoista kohdassa 1.: ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$ $y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})$

Kun otetaan huomioon nämä objektit, ongelma on tämä:

Sinä, tarkkailet satunnaismuuttujien sarjaa, voit valita joko lopettaa havainnoinnin tai jatkaa $i$
Jos lopetat katsomisen , sinut palkitaan $i$ $y_{i}$
Haluat valita pysäytyssäännön maksimoidaksesi odotetun palkkion (tai vastaavasti minimoidaksesi odotetun tappion)

Jatkuva tapaus

Tarkastellaan suodatettuun todennäköisyysavaruuteen määriteltyjen prosessien vahvistusta ja oletetaan, että tämä on suodatuksen adaptaatio. Pysäytysajan ongelmana on löytää pysäytysaika , joka maksimoi odotetun voiton . ${\displaystyle G=(G_{t})_{t\geq 0))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ $G$ $\tau ^{*}$

V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }

jossa kutsutaan funktion arvoksi . Tässä voi olla merkitystä . ${\displaystyle V_{t}^{T))$ $T$ $\infty$

Tarkempi sanamuoto on seuraava. Tarkastellaan adaptoitua vahvaa Markov-prosessia , joka on määritelty suodatetulle todennäköisyysavaruudelle, jossa tarkoittaa mittauksen todennäköisyyttä, jossa satunnaisprosessi alkaa . Jatkuvien toimintojen huomioiminen ja pysähtymisajan ongelma ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})$ $\mathbb {P} _{x}$ $x$ $M,L$ $K$

V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau })+\int _{0}^{ \tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).

Tätä kutsutaan joskus MLS-formulaatioksi (vastaavasti Meyer, Lagrange ja Supremum). [yksi]

Ratkaisumenetelmät

Pysähdyspisteongelman ratkaisemiseen on kaksi lähestymistapaa. Kun taustalla olevaa prosessia (tai prosessin vahvistusta) kuvataan sen ehdottomalla äärellisulotteisella jakaumalla, niin sopiva ratkaisumenetelmä on Martingale-lähestymistapa, joka on niin nimetty, koska se käyttää Martingale -teoriaa , tärkein käsite on Snellin kehitys . Diskreetissä tapauksessa, jos suunnitteluhorisontti on äärellinen, ongelma voidaan ratkaista helposti dynaamisen ohjelmoinnin avulla . $T$

Kun taustalla oleva prosessi määritellään (ehdollisten) siirtymäfunktioiden perheellä, joka johtaa Markovin todennäköisyyssiirtymien perheeseen, voidaan usein käyttää Markovin prosessiteorian tehokkaita analyyttisiä työkaluja ja tätä lähestymistapaa kutsutaan Markovin menetelmäksi. Ratkaisu saadaan yleensä ratkaisemalla niihin liittyvät ongelmat vapailla rajoilla (Stefan-ongelmat).

Jump Diffusion Result

Olkoon Levyn diffuusio sisään stokastisesta differentiaaliyhtälöstä ${\näyttötyyli Y_{t))$ ${\mathbb {R}}^{k}$

dY_{t}=b(Y_{t})dt+\sigma (Y_{t})dB_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{k))\gamma (Y_{t- },z){\bar {N}}(dt,dz),\quad Y_{0}=y

missä on -ulotteinen Brownin liike , tämä on -ulotteisesti kompensoitu Poissonin satunnaismitta, , , ja toimii siten, että on olemassa ainutlaatuinen ratkaisu . Antaa olla avoin joukko (vakavaraisuusalue) ja $B$ $m$ ${\bar {N))$ $l$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k))$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times m))$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times l))$ ${\näyttötyyli (Y_{t})}$ ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{k}$

\tau _{\mathcal {S}}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin {\mathcal {S}}\}

konkurssin aika. Optimaalinen pysäytysongelma:

V(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\mathcal {S))}J^{\tau }(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\ mathcal {S))}\mathbb {E} _{y}\left[M(Y_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(Y_{t})dt\oikea].

Osoittautuu, että tietyissä säännöllisyyden olosuhteissa [2] seuraava lauseen vahvistus sisältää:

Jos toiminto tyydyttää $\phi :{\bar {\mathcal {S}}}\to \mathbb {R}$

$\phi \in C({\bar {\mathcal {S}}})\cap C^{1}({\mathcal {S}})\cap C^{2}({\mathcal {S }}\setminus \partial D)$ joissa alueet ovat jatkoa , $D=\{y\in {\mathcal {S}}:\phi (y)>M(y)\}$
$\phi \geq M$ päällä ja ${\mathcal {S))$
${\mathcal {A}}\phi +L\leq 0$ on , missä on äärettömän pieni generaattori ${\mathcal {S}}\setminus \partial D$ ${\mathcal {A}}$ ${\näyttötyyli (Y_{t})}$

sitten kaikille . Lisäksi jos $\phi (y)\geq V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$

${\mathcal {A}}\phi +L=0$ päällä $D$

Sitten kaikille ja on pysähtymisaika $\phi (y)=V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$ ${\displaystyle \tau ^{*}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin D\))$

Nämä ehdot voidaan kirjoittaa kompaktimpaan muotoon (integro-variaatio-epäyhtälö):

$\max \left\{{\mathcal {A}}\phi +L,M-\phi \right\}=0$ päällä ${\mathcal {S}}\setminus \partial D.$

Esimerkkejä

Kolikonheitto

(Esimerkiksi missä konvergoi) $\mathbb {E} (y_{i})$

Sinulla on kolikko ja heität sitä toistuvasti. Joka kerta ennen kuin heität sen, voit lopettaa sen heittämisen ja saada palkan (oletetaan vaikkapa dollareissa) näkemiesi päiden keskimääräisestä määrästä.

Haluat maksimisumman, joka sinulle maksetaan valitsemalla stop-säännön. Jos x i (jossa i ≥ 1) muodostaa riippumattomien, identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien sarjan Bernoullin jakauman kanssa

{\text{Bern}}\left({\frac {1}{2}}\right),

ja jos

y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}

sitten sekvenssissä on tähän ongelmaan liittyviä objekteja. $(X_{i})_{i\geq 1}$ ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$

Talon myynti

(Esimerkiksi missä se ei välttämättä lähenty) $\mathbb {E} (y_{i})$

Sinulla on talo ja haluat myydä sen. Joka päivä sinulle tarjotaan kotiisi ja maksat jatkuvasta mainonnasta. Jos myyt kotisi päivittäin , ansaitset missä . $X_n$ $k$ $n$ $y_{n}$ $y_{n}=(X_{n}-nk)$

Haluat maksimoida ansaitsemasi summan valitsemalla pysäytyssäännön.

Tässä esimerkissä sarja ( ) on talosi tarjousten sarja, ja ominaisuus "palkkiot" määrittää, kuinka paljon ansaitset. $X_{i}$

Picky Bride Problem

(Esimerkiksi missä on viimeinen sekvenssi) ${\näyttötyyli (X_{i})}$

Tarkkailet sarjaa kohteita, jotka voidaan lajitella parhaasta huonoimpaan. Haluat valita pysäytyssäännön, joka maksimoi mahdollisuutesi valita paras ominaisuus.

Jos esimerkiksi ( n on joku suuri luku ehkä) ovat ominaisuuksien rivit, ja tämä on mahdollisuus, että valitset parhaan ominaisuuden, jos lopetat ominaisuuksien tarkoituksellisen hylkäämisen vaiheessa i, nämä ovat tähän liittyvät sekvenssit ongelma. Useat ihmiset ratkaisivat tämän ongelman 1960-luvun alussa. Tyylikäs ratkaisu sihteeriongelmaan ja useita muutoksia tähän ongelmaan tarjoaa nykyaikaisempi optimaalinen pysäytysalgoritmi (Brucen algoritmi). ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n))$ $y_{i}$ $(R_{i})$ ${\näyttötyyli (y_{i})}$

Hakuteoria

Taloustieteilijät ovat tutkineet useita "sihteerin ongelman" kaltaisia optimaalisia pysähtymisaikoja koskevia ongelmia ja kutsuvat tämän tyyppistä analyysiä yleisesti "hakuteoriaksi". Hakuteoria keskittyy erityisesti työntekijän korkeapalkkaisen työn tai kuluttajan edullisen tuotteen etsintään.

Optiokauppa

Rahoitusmarkkinoiden optiokaupassa amerikkalaisen option haltija voi käyttää oikeuttaan ostaa (tai myydä) kohde-etuuden määrättyyn hintaan milloin tahansa ennen tai erääntyessä. Näin ollen amerikkalaisten optioiden arvostaminen on pohjimmiltaan optimaalinen pysäytysongelma. Harkitse klassista Black-Scholes -mallia ja olkoon riskitön korko sekä osinkoprosentti ja osakevolatiliteetti. Osakekurssi seuraa geometristä Brownin liikettä $r$ $\delta$ $\sigma$ $S$

S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t }\oikea\}

Riskimittarin mukaan.

Kun parametri on ääretön, optimaalinen pysäytysongelma

V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]

missä on osto- ja vetovaihtoehdon voittotoiminto. Vaihteleva epätasa-arvo ${\displaystyle g(x)=(xK)^{+))$ ${\displaystyle g(x)=(Kx)^{+))$

\max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV (x),g(x)-V(x)\oikea\}=0

kaikille siellä, missä se on fyysisen harjoittelun raja. Ratkaisu on tiedossa [3] ${\displaystyle x\in (0,\infty )\setminus \{b\))$ $b$

(Infinite Challenge) missä ja $V(x)={\begin{cases}(bK)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\xK&x\in [b,\infty )\end{cases }}$ $\gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r))-\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).$
(Infinite rate) missä ja $V(x)={\begin{cases}Kx&x\in (0,c]\\(Kc)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty ) \end{cases}}$ ${\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).$

Toisaalta, kun aikaraja on äärellinen, ongelma liittyy kaksiulotteiseen vapaan rajan ongelmaan ilman tunnettua suljetun muodon ratkaisua. Erilaisia numeerisia menetelmiä voidaan kuitenkin käyttää. Katso Black-Scholes Model#American Options eri arvostusmenetelmistä täältä ja Fugit diskreetistä puupohjaisesta optimaalisesta harjoitteluajasta.

Katso myös

Stokastinen ohjaus
Markovin päätösprosessi

Linkit

↑ Peskir, Goran; Shiryaev, AlbertOptimaalinen pysähtyminen ja vapaan rajan ongelmat (määrittelemätön) . - 2006. - T. Matematiikan luennot. ETH Zürich . - ISBN 978-3-7643-2419-3 . - doi : 10.1007/978-3-7643-7390-0 .
↑ Øksendal, B.; Sulem, AS Applied Stochasttic Control of Jump Diffusions (uuspr.) . - 2007. - ISBN 978-3-540-69825-8 . - doi : 10.1007/978-3-540-69826-5 .
↑ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E.Matemaattisen rahoituksen menetelmät (määrätön) . - 1998. - T. 39 . - ISBN 978-0-387-94839-3 . - doi : 10.1007/b98840 .