Messu erityisessä suhteellisuusteoriassa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Massalla on erityissuhteellisuusteoriassa kaksi merkitystä:invarianttimassa(kutsutaan myös lepomassaksi) on invariantti suure, joka on sama kaikille havainnoijille kaikissa viitekehyksessä; jarelativistinen massa, joka riippuu tarkkailijan nopeudesta. Massa-energiaekvivalenssinkäsitteeninvariantti massa vastaalepoenergiaa, kun taas relativistinen massa vastaarelativistista energiaa(kutsutaan myös kokonaisenergiaksi).

Termiä "relativistinen massa" ei käytetä yleisesti hiukkas- ja ydinfysiikassa, ja erityissuhteellisuusteorian kirjoittajat välttelevät sitä usein osoittamaan kehon relativistista energiaa. [1] Käsitteen "invariantti massa" käyttö on yleensä parempi kuin lepoenergia. Tietyssä vertailukehyksessä olevan kappaleen mitattavissa oleva aika-avaruuden inertia ja kaarevuus määräytyy sen relativistisen massan, ei sen invariantin, mukaan. Esimerkiksi fotoneilla on nolla lepomassaa, mutta ne vaikuttavat minkä tahansa niitä sisältävän järjestelmän inertiaan (ja painoon gravitaatiokentässä).

Lepomassa

Massalla erityissuhteellisuusteoriassa tarkoitetaan yleensä kohteen lepomassaa , joka on kohteen mukana liikkuvan havainnoijan mittaama newtonilainen massa. Invariantti massa on vaihtoehtoinen nimi yksittäisten hiukkasten loppumassalle. Yleisempi invarianttimassa (laskettu monimutkaisemmasta kaavasta) vastaa karkeasti "järjestelmän" "lepomassaa". Näin ollen invariantti massa on luonnollinen massayksikkö, jota käytetään järjestelmissä, joita tarkastellaan niiden massakeskipistejärjestelmästä (CMS), kuten punnittaessa mitä tahansa suljettua järjestelmää (esimerkiksi kuumakaasupulloa), joka vaatii mittauksen massakeskipisteestä. massajärjestelmä, jossa järjestelmällä ei ole nettomäärää. Tällaisissa olosuhteissa invariantti massa on yhtä suuri kuin relativistinen massa (käsitellään alla), joka on järjestelmän kokonaisenergia jaettuna c2: lla ( valon nopeuden neliö ).

Invariantin massan käsite ei kuitenkaan vaadi kytkettyjä hiukkasjärjestelmiä. Siten sitä voidaan soveltaa myös sitoutumattomien hiukkasten järjestelmiin suhteellisessa liikkeessä suurilla nopeuksilla. Sitä käytetään usein alkeishiukkasfysiikassa järjestelmissä, jotka koostuvat kaukana toisistaan olevista korkeaenergisista hiukkasista. Jos tällaiset järjestelmät olisi johdettu yhdestä hiukkasesta, laskemalla tällaisten järjestelmien invariantti massa, joka on vakiosuure, saataisiin emohiukkasen loppumassa (koska se säilyy ajan myötä).

Relativistinen massa

Relativistinen massa on energian kokonaismäärä kehossa tai järjestelmässä (jaettuna c 2 :lla ). Siten kaavan massa

E=m_{\text{rel}}c^{2}\,

on relativistinen massa. Hiukkaselle, jonka lepomassa on äärellinen m , joka liikkuu nopeudella suhteessa havaitsijaan, voidaan löytää $v$

m_{\text{rel}}={m \over {\sqrt {1-\displaystyle {v^{2} \over c^{2))))}

(Katso alempaa).

Massajärjestelmän keskellä ja relativistinen massa on yhtä suuri kuin lepomassa. Muissa viitekehyksessä relativistinen massa (kappaleen tai kappalejärjestelmän) sisältää kehon "netto" kineettisen energian (kehon massakeskuksen kineettisen energian ) ja mitä suurempi, sitä nopeammin keho liikkuu. Siten toisin kuin invarianttimassa, relativistinen massa riippuu havainnoijan viitekehyksestä . Kuitenkin yksittäisille viitekehykselle ja eristetyille järjestelmille relativistinen massa on myös säilynyt suure. Relativistinen massa on myös suhteellisuustekijä nopeuden ja liikemäärän välillä, $v=0$

\mathbf {p} =m_{\text{rel}}\mathbf {v}

Newtonin toinen laki pysyy voimassa muodossa

\mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel))\mathbf {v} )}{dt)).

Kun kappale lähettää valoa taajuudella ja aallonpituudella , kuten energian fotoni , kehon massa pienenee [2] , jonka jotkut [3] [4] tulkitsevat emittoidun fotonin relativistiseksi massaksi, koska se kantaa myös . Vaikka jotkut kirjoittajat esittävätkin relativistisen massan teorian peruskäsitteenä , on väitetty, ettei tämä pidä paikkaansa, koska teorian perusteet liittyvät aika-avaruuteen. On kiistaa siitä, onko käsite pedagogisesti hyödyllinen. [5] [3] [6] Se selittää yksinkertaisesti ja kvantitatiivisesti, miksi jatkuvassa kiihtyvyydessä oleva kappale ei voi saavuttaa valon nopeutta ja miksi fotonia lähettävän järjestelmän massa pienenee. Relativistisessa kvanttikemiassa relativistista massaa käytetään selittämään elektronien kiertoradan supistumista raskaissa elementeissä. [7] [8] Newtonin mekaniikan käsitteellä massa esineen ominaisuutena ei ole tarkkaa yhteyttä suhteellisuusteorian käsitteeseen. [9] Relativistista massaa ei mainita ydin- ja hiukkasfysiikassa [1] , ja vuonna 2005 tehtyjen johdantokirjojen tarkastelussa havaittiin, että vain 5 tekstistä 24:stä käytti käsitettä [10] , vaikka sitä käytetään edelleen laajalti popularisoinnissa. $\nu$ $\lambda$ $E=h\nu=hc/\lambda$ $E/c^{2}=h/\lambda c$ $p=m_{\text{rel}}c=h/\lambda$

Jos kiinteässä laatikossa on monia hiukkasia, niin se omassa vertailukehyksessään painaa mitä enemmän, sitä nopeammin hiukkaset liikkuvat. Kaikki laatikossa oleva energia (mukaan lukien hiukkasten kineettinen energia) lisää sen massaa, ja siten hiukkasten suhteellinen liike vaikuttaa laatikon massaan. Mutta jos itse laatikko liikkuu (sen massakeskipiste liikkuu ), jää kysymys, pitäisikö koko liikkeen liike-energia sisällyttää järjestelmän massaan. Invarianttimassa lasketaan ottamatta huomioon järjestelmän kineettistä energiaa (laskettu käyttämällä laatikon yksittäistä nopeutta eli sen massanopeuden keskipistettä), kun taas relativistinen massa lasketaan käyttämällä invarianttimassaa plus järjestelmän liike-energiaa, joka lasketaan järjestelmän keskipisteestä. massanopeus.

Relativistinen massa ja lepomassa

Relativistinen massa ja lepomassa ovat perinteisiä fysiikan käsitteitä. Relativistinen massa vastaa kokonaisenergiaa, se on järjestelmän massa vaa'alla mitattuna. Joissakin tapauksissa (kuten yllä olevassa tapauksessa) tämä tosiasia pitää paikkansa vain siksi, että järjestelmän on keskimäärin oltava levossa, jotta se voidaan punnita (sen nettomäärän on oltava nolla, eli mittaus tehdään sen massakeskiöjärjestelmässä ) . Esimerkiksi jos syklotronissa oleva elektroni liikkuu ympyrässä relativistisella nopeudella, syklotroni + elektronijärjestelmän massa kasvaa elektronin relativistisella massalla, ei elektronin lepomassalla. Mutta sama pätee mihin tahansa suljettuun järjestelmään, kuten elektroni- ja laatikkoon, jos laatikon sisällä oleva elektroni pomppii seinistä suurella nopeudella. Vain kokonaisliikemäärän puuttuminen järjestelmästä (järjestelmän liikemäärän summa on nolla) mahdollistaa elektronin kineettisen energian "punnittamisen". Jos elektroni voitaisiin pysäyttää ja punnita tai jollain tavalla lähettää vaakojen jälkeen, niin se ei liikkuisi vaakojen suhteen ja yhden elektronin relativistinen massa ja lepomassa olisivat jälleen samat (ja pienentyisivät). Yleensä relativistinen massa ja lepomassa ovat yhtä suuret vain järjestelmissä, joissa ei ole nettoliikemäärää ja järjestelmän massakeskus on levossa; muuten ne voivat olla erilaisia.

Invariantti massa on verrannollinen kokonaisenergian arvoon vertailukehyksessä, jossa kohde kokonaisuutena on levossa (kuten jäljempänä on määritelty massakeskipisteenä). Tästä syystä invarianttimassa on sama kuin yksittäisten hiukkasten loppumassa. Invariantti massa on kuitenkin myös mitattu massa, kun massakeskipiste on levossa monien hiukkasten järjestelmissä. Tämä erityinen viitekehys, jota kutsutaan massakeskipisteen viitekehykseksi, määritellään inertiaaliseksi viitekehykseksi , jossa kohteen massakeskipiste on levossa (toisin sanoen se on viitekehys , jossa kohteen massakeskus on levossa). järjestelmän osien momenttien summa on nolla). Komposiittiobjekteille (jotka koostuvat monista pienistä esineistä, joista osa on liikkeessä) ja toisiinsa liittyvien objektien joukoille (joista osa voi myös liikkua), jotta kohteen relativistinen massa olisi yhtä suuri kuin sen lepomassa, vain järjestelmän massakeskipisteen on oltava levossa.

Niin sanottu massaton hiukkanen (esimerkiksi fotoni tai teoreettinen gravitoni) liikkuu valon nopeudella missä tahansa vertailukehyksessä. Tässä tapauksessa ei tapahdu muutosta, joka saattaa hiukkasen lepotilaan. Tällaisten hiukkasten kokonaisenergia pienenee ja pienenee vertailukehyksissä, jotka liikkuvat nopeammin ja nopeammin samaan suuntaan. Tällaisilla hiukkasilla ei ole lepomassaa, koska niitä ei voida mitata järjestelmässä, jossa ne olisivat levossa. Tämä ominaisuus olla ilman lepomassaa on syy siihen, miksi näitä hiukkasia kutsutaan "massattomaksi". Kuitenkin myös massattomilla hiukkasilla on relativistinen massa, joka riippuu niiden havaitusta energiasta eri viitekehyksessä.

Invariantti massa

Invarianttimassa on neliulotteisen liikemäärän ( klassisen liikemäärän neliulotteinen yleistys ) suhde neliulotteiseen nopeuteen : [11]

p^{\mu }=mv^{\mu }\,

sekä 4-kiihtyvyyden suhde 4- voimaan, kun lepomassa on vakio. Newtonin toisen lain neliulotteinen muoto:

F^{\mu }=mA^{\mu }.

Relativistinen energia-momenttiyhtälö

E :n ja p :n relativistiset lausekkeet noudattavat relativistista energia-momenttisuhdetta : [12]

E^{2}-(pc)^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}

missä m on järjestelmän lepomassa tai invarianttimassa ja E on kokonaisenergia.

Yhtälö pätee myös fotoneille, joiden m = 0:

E^{2}-(pc)^{2}=0

ja siksi

E=pc

Fotonin liikemäärä on sen energian funktio, mutta se ei ole verrannollinen sen nopeuteen, joka on aina c.

Lepotilassa olevan kohteen liikemäärä p on nolla, joten

E_{0}=mc^{2}\,\!

[tosi vain hiukkasille tai järjestelmille, joiden liikemäärä = 0]

Lepomassa on vain verrannollinen kokonaisenergiaan objektin lepokehyksessä.

Kun esine liikkuu, kokonaisenergia ilmaistaan muodossa

{\displaystyle E={\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2))))

Liikemäärän ja energian muodon löytämiseksi nopeuden funktiona voidaan todeta, että 4-nopeus, joka on verrannollinen :een , on ainoa 4-vektori, joka liittyy hiukkasen liikkeeseen, joten jos on olemassa säilynyt 4 -momentum , sen on oltava verrannollinen tähän vektoriin. Tämän avulla voimme ilmaista energian ja liikemäärän suhteen muodossa $\left(c,{\vec {v}}\right)$ $\left(E,{\vec {p}}c\oikea)$

pc=E{\frac {v}{c))

joka johtaa suhteeseen E :n ja v :n välillä :

E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+E^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}},

Se johtaa

{\displaystyle E={mc^{2} \over {\sqrt {1-\displaystyle {v^{2} \over c^{2)))))))

p={mv \over {\sqrt {1-\displaystyle {v^{2} \over c^{2))))}.

nämä lausekkeet voidaan kirjoittaa muodossa

E_{0}=mc^{2},

E=\gamma mc^{2},

p=mv\gamma .

missä on tekijä $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$

Kun työskennellään yksikköjärjestelmässä, jossa c = 1, joka tunnetaan luonnollisten yksikköjen järjestelmänä , kaikki relativistiset yhtälöt yksinkertaistuvat ja energialla , liikemäärällä ja massalla on sama luonnollinen ulottuvuus: [13]

m^{2}=E^{2}-p^{2}

Yhtälö kirjoitetaan usein tällä tavalla, koska erona on neljän vektorin energiamomentin relativistinen pituus , joka liittyy lepomassaan tai invarianttimassaan. Kun m > 0 ja p = 0 , tämä yhtälö ilmaisee jälleen massa-energiaekvivalenssin E = m . $E^{2}-p^{2}$

Relativistisen massan käsitteen historia

Poikittais- ja pituussuuntainen massa

Käsitteet, jotka ovat samanlaisia kuin nykyään kutsutaan "relativistiseksi massaksi", kehitettiin ennen erityissuhteellisuusteorian tuloa. Esimerkiksi vuonna 1881 J. J. Thomson ymmärsi, että varautunutta kappaletta on vaikeampi saada liikkeelle kuin varauksetonta. Tätä ideaa kehittivät edelleen Oliver Heaviside (1889) ja George Frederick Charles Searle 1897). Siten sähköstaattisella energialla on jonkinlainen sähkömagneettinen massa , joka voi lisätä kappaleiden normaalia mekaanista massaa. [14] [15] $m_{\text{em}}=(4/3)E_{\text{em}}/c^{2}$

Thomson ja Searle osoittivat sitten, että myös tämä sähkömagneettinen massa kasvaa nopeuden myötä. Hendrik Lorentz (1899, 1904) kehitti tätä edelleen Lorentzin eetteriteoriassa . Hän määritteli massan voiman suhteeksi kiihtyvyyteen, ei liikemäärän ja nopeuden suhteeksi, joten hänen täytyi erottaa liikkeen suunnan suuntainen massa ja liikkeen suuntaan kohtisuorassa oleva massa (missä on Lorentzin tekijä , v on eetterin ja kohteen välinen suhteellinen nopeus, c on valon nopeus). Vain kun voima on kohtisuorassa nopeuteen nähden, Lorentzin massa on yhtä suuri kuin mitä nyt kutsutaan "relativistiseksi massaksi". Max Abraham (1902) nimesi pituussuuntaisen massan ja poikittaisen massan (vaikka Abraham käytti monimutkaisempia ilmaisuja kuin Lorentzin relativistiset ilmaisut). Joten Lorentzin teorian mukaan mikään kappale ei voi saavuttaa valon nopeutta, koska tällä nopeudella massasta tulee äärettömän suuri. [16] [17] [18] $m_{\text{L}}=\gamma ^{3}m$ $m_{\text{T}}=\gamma m$ ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))$ $m_{\text{L}}$ $m_{\text{T))$

Albert Einstein käytti alun perin myös pitkittäis- ja poikittaismassan käsitteitä vuoden 1905 sähködynamiikkaa käsittelevässä työssään (vastaa Lorentzin massoja, mutta voiman määritelmällä oli erilainen , jota myöhemmin korjattiin) ja toisessa 1906 artikkelissa [19] [19] myöhemmin hylkäsi nopeudesta riippuvan massan käsitteen (katso lainaus seuraavan osan lopussa ). $m_{\text{T))$

Tarkka relativistinen lauseke (vastaa Lorentzin lauseketta), joka yhdistää voiman ja kiihtyvyyden hiukkaselle, jonka lepomassa on nollasta poikkeava , joka liikkuu x -suunnassa nopeudella v ja siihen liittyvä Lorentz-tekijä on $m$ $\gamma$

{\begin{aligned}f_{\text{x}}&=m\gamma ^{3}a_{\text{x}}&=m_{\text{L}}a_{\text{x )),\\f_{\text{y}}&=m\gamma a_{\text{y}}&=m_{\text{T}}a_{\text{y}}),\\f_{ \ text{z}}&=m\gamma a_{\text{z}}&=m_{\text{T}}a_{\text{z}}.\end{aligned}}

Relativistinen massa

Suosittu tieteellinen kirjallisuus ja oppikirjat

Relativistisen massan käsitettä käytetään laajalti populaaritieteellisessä kirjallisuudessa sekä lukion ja perustutkinto-oppikirjoissa. Kirjoittajat, kuten Okun ja A. B. Arons, ovat väittäneet, että tämä on arkaaista, hämmentävää ja ristiriidassa nykyaikaisen relativistisen teorian kanssa. [5] [20] Arons kirjoitti:

Monien vuosien ajan on ollut tapana keskustella dynamiikasta relativistisen massan eli massa-nopeussuhteen johdosta, ja tämä on luultavasti edelleen vallitseva menetelmä oppikirjoissa. Viime aikoina on kuitenkin yhä enemmän tunnustettu, että relativistinen massa on ongelmallinen ja kyseenalainen käsite. [Katso esimerkiksi Okun (1989). [5] ]… Kohtuullinen ja tiukka lähestymistapa relativistiseen dynamiikkaan on tämän liikemäärän ilmaisun suora kehittäminen, mikä varmistaa liikemäärän säilymisen kaikissa viitekehyksessä:

p={m_{0}v \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\!

eikä relativistisen massan kautta.

K. Alder viittaa myös halveksivasti suhteellisuusteoriassa massaan. Hän sanoo, että "hänen tutustumisensa erityiseen suhteellisuusteoriaan oli suurelta osin historiallinen sattuma", ja hän panee merkille laajalle levinneen kaavan E = mc 2 ja kuinka julkinen yhtälön tulkinta on vaikuttanut suuresti siihen, miten sitä opetetaan korkeakouluissa. [21] Sen sijaan hän uskoo, että ero lepomassan ja relativistisen massan välillä tulisi tehdä selväksi, jotta opiskelijat tietävät, miksi massaa pitäisi käsitellä muuttumattomana "useimmissa inertiakeskusteluissa".

Monet nykyajan kirjailijat, kuten Taylor ja Wheeler, välttävät kokonaan relativistisen massan käsitteen käyttöä:

"Relativistisen massan" käsite on väärinkäsitysten kohteena. Siksi emme käytä sitä. Ensinnäkin hän soveltaa nimeä "massa", joka kuuluu 4-vektorin suuruuteen, täysin eri käsitteeseen - 4-vektorin aikakomponenttiin. Toiseksi, kohteen energian lisääntyminen nopeudella tai liikemäärällä näyttää liittyvän johonkin muutokseen kohteen sisäisessä rakenteessa. Itse asiassa energian kasvu nopeudella ei tapahdu objektissa, vaan itse aika-avaruuden geometrisissa ominaisuuksissa. [12]

Avaruusajalla on rajaton Minkowskin avaruusgeometria, kun taas nopeusavaruus on c -rajoitettu ja sillä on hyperbolinen geometria , jossa relativistisella massalla on samanlainen rooli kuin Newtonin massalla euklidisen geometrian barysentrisissä koordinaateissa . [22] Nopeuden yhteys hyperboliseen geometriaan mahdollistaa 3-nopeudesta riippuvan relativistisen massan yhdistämisen Minkowskin formalismiin, joka on rakennettu 4-nopeudelle. [23]

Katso myös

Paino
Erityinen suhteellisuusteoria
Relativistiset energia- ja vauhtitestit

Linkit

↑ 1 2 Roche, J (2005). "Mikä on massa?" (PDF) . European Journal of Physics . 26 (2). Bibcode : 2005EJPh...26..225R . DOI : 10.1088/0143-0807/26/2/002 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 15.11.2019 . Haettu 2021-02-04 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? , < http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_18_639-641.pdf > Arkistoitu 24. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa ( englanninkielinen käännös arkistoitu 2. maaliskuuta 2019 Wayback Machinessa )
↑ 1 2 T. R. Sandin (1991), Relativistisen massan puolustamiseksi , American Journal of Physics, osa 59 (11): 1032–1036 , DOI 10.1119/1.16642
↑ Ketterle, W. ja Jamison, A.O. (2020). "Atomifysiikan näkökulma kilogramman uuteen määritelmään", "Physics Today" 73 , 32-38
↑ 1 2 3 L. B. Okun (1989), The Concept of Mass , Physics Today , osa 42 (6): 31–36, doi : 10.1063/1.881171 , < https://www.worldscientific.com/phy_etextbook/633_0/28 .pdf > Arkistoitu 14. elokuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ LB Okun (2009), Massa versus relativistiset ja lepomassat , American Journal of Physics, osa 77(5): 430–431 , DOI 10.1119/1.3056168
↑ Pitzer, Kenneth S. (1979). "Relativistiset vaikutukset kemiallisiin ominaisuuksiin" (PDF) . Kemiallisen tutkimuksen tilit . 12 (8): 271-276. DOI : 10.1021/ar50140a001 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 2020-08-06 . Haettu 2021-02-04 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Norrby, LJ (1991). "Miksi Mercury Liquid?, J. Chem. Educ. 68 : 110-113. https://doi.org/10.1021/ed068p110
↑ Klassiset ja relativistiset käsitteet massasta
↑ Oas, "On the Abuse and Use of Relativistic Mass", 2005, http://arxiv.org/abs/physics/0504110 Arkistoitu 23. helmikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ McGlinn, William D. (2004), Introduction to suhteellisuusteoria , JHU Press, s. 43, ISBN 978-0-8018-7047-7 , < https://books.google.com/books?id=PoDYLk6Ugd8C > Arkistoitu 19. elokuuta 2020 Wayback Machinessa Ote sivusta 43 Arkistoitu 19. elokuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ 1 2 E. F. Taylor & J. A. Wheeler (1992), Spacetime Physics, toinen painos , New York: W.H. Freeman and Company , s. 248–249, ISBN 978-0-7167-2327-1 , < https://books.google.com/books?id=PDA8YcvMc_QC&q=ouch!+%22relativistic+mass%22 > Arkistoitu 22. helmikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Mandl, Franz. Kvanttikenttäteoria / Franz Mandl, Graham Shaw. – 2. - John Wiley & Sons, 2013. - s. 70. - ISBN 978-1-118-71665-6 . Arkistoitu 19. elokuuta 2020 Wayback Machineen Ote sivusta 70 Arkistoitu 19. elokuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ JJ Thomson (1881), Motion of Electrified Bodiesin tuottamia sähköisiä ja magneettisia vaikutuksia , Philosophical Magazine , 5 osa 11 (68): 229–249 , DOI 10.1080/1478644810862708
↑ G.F.C. Searle (1897), On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid , Philosophical Magazine , 5 osa 44 (269): 329–341 , DOI 10.1080/1478644972862107
↑ H.A. Lorentz (1899), Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems, Proceedings of the Royal Academy of Arts and Sciences, osa 1: 427–442
↑ H. A. Lorentz (1904), Sähkömagneettiset ilmiöt järjestelmässä, joka liikkuu millä tahansa valon nopeutta pienemmällä nopeudella, Proceedings of the Royal Academy of Arts and Sciences, osa 6: 809–831
↑ M. Abraham (1903), Prinzipien der Dynamik des Elektrons, Annalen der Physik T. 315: 105–179
↑ 1 2 A. Einstein (1905), Zur Elektrodynamik bewegter Körper , Annalen der Physik T. 322(10) : ,10.1002/andp.19053221004:doi 891–921, > Arkistoitu 24. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa ( englanninkielinen käännös arkistoitu 25. marraskuuta 2005 Wayback Machinessa )
↑ AB Arons (1990), Opas johdattavaan fysiikan opetukseen
↑ Adler, Carl (30. syyskuuta 1986). "Riippuuko massa todella nopeudesta, isä?" (PDF) . American Journal of Physics . 55 (8): 739-743. Bibcode : 1987AmJPh..55..739A . DOI : 10.1119/1.15314 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 2021-05-06 . Haettu 2021-02-04 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Hyperboliset kolmiokeskukset: Special Relativist Approach Arkistoitu 19. elokuuta 2020, Wayback Machine , Abraham A. Ungar, Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8636-5
↑ When Relativistic Mass Meets Hyperbolic Geometry Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016, Wayback Machine , Abraham A. Ungar, Commun. Matematiikka. Anaali. Osa 10, numero 1 (2011), 30-56.