Pauli matriisit

Pauli-matriisit ovat kolmen hermiittisen ja samanaikaisesti unitaarisen 2×2 - matriisin joukko , jotka muodostavat perustan kaikkien hermiittisten 2×2-matriisien avaruudessa, joissa on nollajälki . Wolfgang Pauli ehdotti kuvaamaan elektronin spiniä kvanttimekaniikassa . Matriisit näyttävät

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix)),

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Sen sijaan käytetään joskus merkintää ja . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3))$ ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z))$ ${\näyttötyyli X,Y,Z}$

Usein käytetty myös matriisi

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

samaan aikaan identiteettimatriisin kanssa , jota joskus kutsutaan myös nimellä . $minä$ $E$

Pauli-matriisit yhdessä matriisin kanssa muodostavat perustan kaikkien 2×2 Hermitian matriisien (ei vain nollajäljen matriisien) avaruudessa. $\sigma _{0}$

Ominaisuudet

Perussuhteet

Eremiittisyys : $\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};$
Tasa-arvo nollaan jälkiin : $\operaattorin nimi {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3$
$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,$ missä on 2×2 -identiteettimatriisi . $I=\sigma _{0}$
Yhtenäisyys : ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i))$
Pauli-matriisien determinantti on −1.
Elementtien muodostama algebra on isomorfinen kvaternionalgebran kanssa . ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z))$ $\langle 1,i,j,k\rangle$

Paulin matriisin kertolaskusäännöt

\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},

\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},

\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},

{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i))

varten

i\neq j.

Nämä kertolaskusäännöt voidaan kirjoittaa uudelleen kompaktiin muotoon

\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j ,k=1,2,3

missä on Kronecker-symboli ja ε ijk on Levi-Civita-symboli . $\delta _{{ij}}$

Näistä kertolaskusäännöistä seuraa kommutointirelaatiot

{\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}

Hakasulkeet tarkoittavat kommutaattoria , kiharat hakasulkeet tarkoittavat antikommutaattoria .

Myös Firtz-identiteetit pätevät Pauli-matriiseille .

Yhteys Lie-algebroihin

Matriisien kommutaatiorelaatiot ovat yhtäpitäviä Lie-algebran su(2) generaattoreiden kommutointisuhteiden kanssa. Todellakin, tämä koko algebra, joka koostuu 2 × 2 anti-hermitian matriisista , voidaan rakentaa mielivaltaisista lineaarisista matriisien yhdistelmistä . erityisesti tämä selittää Pauli-matriisien merkityksen fysiikassa. ${\displaystyle i\sigma _{k))$ $i\sigma _{k}\;.$

Sovellukset fysiikassa

Kvanttimekaniikassa matriisit ovat infinitesimaalien rotaatioiden generaattoreita ei-relativistisille hiukkasille , joiden spin ½. Spin- operaattorimatriisin elementit hiukkasille, joilla on puolikokonaisluku spin, ilmaistaan Pauli-matriiseina [1 ] $i\sigma _{j}/2$

$(s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2)){\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{ \sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

$(s_{z})_{\sigma \sigma }=\sigma$

Tällaisten hiukkasten tilavektori on kaksikomponenttinen spinori [2] . Kaksikomponenttiset spinorit muodostavat SU (2)-ryhmän perusesityksen avaruuden.

Katso myös

Firtzin identiteetit

Muistiinpanot

↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 55. Spin-operaattori // Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 5. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 s. - ( Teoreettinen fysiikka , osa III). — ISBN 5-9221-0057-2 .
↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 56. Spinors // Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 5. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 s. - ( Teoreettinen fysiikka , osa III). — ISBN 5-9221-0057-2 .

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 .