Black-Scholes malli

Black -Scholes Option Pricing Model ( OPM ) on malli, joka määrittää eurooppalaisten optioiden teoreettisen hinnan , mikä tarkoittaa, että jos kohde- etuutena käydään kauppaa markkinoilla, niin siinä olevan option hinta on implisiittisesti jo itse asettama. . Tätä mallia on käytetty laajasti käytännössä ja sitä voidaan käyttää muun muassa kaikkien johdannaisten, mukaan lukien warranttien , vaihdettavien arvopapereiden , arvostukseen ja jopa taloudellisesti riippuvaisten yritysten oman pääoman arvioimiseen.

Black-Scholes-mallin mukaan avaintekijä option arvon määrittämisessä on kohde-etuuden odotettu volatiliteetti . Kohteen heilahtelusta riippuen sen hinta nousee tai laskee, mikä vaikuttaa suoraan ja suoraan suhteessa option arvoon. Näin ollen, jos option arvo on tiedossa, on mahdollista määrittää markkinoiden odottama volatiliteetin taso [1] .

Historia

Fisher Black ja Myron Scholes kehittivät optiohinnoittelumallin ensimmäisen kerran vuonna 1973 teoksessa The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Heidän tutkimuksensa perustui Jack Traynorin , Paul Samuelsonin , James Bonesin ja Sheen Kassoufin aikaisempiin töihinja Edward Thorpe ja kehitettiin optiokaupan nopean kasvun aikana.

Teorian seitsemän oletusta

Optioiden hinnoittelumallin johtamiseksi Black ja Scholes tekivät seuraavat oletukset:

Arvopapereilla ( kohde- etuus ) käydään kauppaa jatkuvasti, ja niiden hintakäyttäytyminen noudattaa geometristä Brownin liikemallia tunnetuilla parametreilla (etenkin nämä parametrit ovat vakioita koko option voimassaoloajan).
Option kohde-etuus ei jaa osinkoa option voimassaoloajalta.
Osakkeen tai option ostamiseen tai myyntiin ei liity transaktiokuluja .
Lyhyen aikavälin riskitön korko on tiedossa ja on vakio koko option voimassaoloajan.
Jokainen arvopaperin ostaja voi lainata lyhytaikaista riskitöntä korkoa maksaakseen minkä tahansa osan sen hinnasta.
Lyhyeksimyynti on sallittua rajoituksetta, ja myyjä saa välittömästi kaiken käteisen shortoidusta arvopaperista tämän päivän hintaan.
Ei ole arbitraasimahdollisuutta .

Mallin johtopäätös perustuu riskittömän suojauksen käsitteeseen . Ostamalla osakkeita ja myymällä samanaikaisesti näiden osakkeiden osto -optioita sijoittaja voi muodostaa riskittömän position, jossa osakkeiden tuotot tasoittavat täsmälleen optioiden tappiot ja päinvastoin.

Riskittömästä suojatusta positiosta on saatava tuotto riskittömän koron korolla, muuten syntyisi arbitraasimahdollisuus ja tätä mahdollisuutta hyödyntävät sijoittajat nostaisivat option hinnan tasapainotasolle, joka määräytyy mallin mukaan.

Kaavat

Osto- option hinta :

C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),

missä

d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X)))+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T)))),

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T)).

myyntioption hinta :

P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).

Nimitykset:

$C$ — osto- option hinta ;
$S$ — kohde-etuuden nykyinen hinta (spot);
$N(x)$ on standardin normaalijakauman kumulatiivinen jakaumafunktio;
$X$ — option merkintähinta (lakko);
$r$ — riskitön korko;
$T$ - aika option voimassaolon päättymiseen;
$\sigma$ — kohde-etuuden tuoton volatiliteetti.

"Kreikkalaiset"

Optio-oikeuden hinnan (preemion) herkkyyden kuvaamiseksi tiettyjen arvojen muutokselle käytetään erilaisia kertoimia, joita kutsutaan "kreikkalaisiksi". Nimi tulee kreikkalaisista aakkosista , joiden kirjaimet tarkoittavat näitä kertoimia (poikkeuksena "vega"). "Kreikkalaiset" Black-Scholes -mallin puitteissa lasketaan eksplisiittisesti:

"kreikkalainen"	Osittainen derivaattaesitys	puheluvaihtoehdot _	laittaa vaihtoehtoja
delta	${\frac {\partial c}{\partial S))$	$N(d_{1})$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1$
gamma	${\frac {\partial ^{2}c}{\partial S^{2))}$	${\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T))))$
vega [2] [3]	${\frac {\partial c}{\partial \sigma ))$	$SN'(d_{1}){\sqrt {T}}$
theta	${\frac {\partial c}{\partial t))$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))-rKe^{-r(T)}N(d_{2})$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})$
ro [3]	${\frac {\partial c}{\partial r))$	$K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})$	$-K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})$

Erityisesti gamma- ja vega-kaavat ovat samat putoille ja kutsuille, mikä on looginen johdannainen put- ja call-pariteettiteoriasta .

Esimerkiksi delta- ja gamma -kertoimien tunteminen mahdollistaa option hinnan (preemion) muutoksen arvioinnin, kun kohde- etuutena olevan rahoitusinstrumentin hinta muuttuu : $\Delta$ $\Gamma$ $\delta c$ $\delta S$

\delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.

Tämä kaava saadaan laajentamalla optiohintaa Taylor - sarjassa . Samoin mitä suurempi theta, sitä nopeampi vaihtoehdon aikavaimentuminen ja niin edelleen. $c(S)$

Merton malli

Merton -malli seuraa suoraan Black-Scholes -mallia , joka mahdollistaa yrityksen oman pääoman arvon mallintamisen yrityksen arvon ja sen velan arvon perusteella, joka on esitetty nollakuponkilaina [4] . Tässä tapauksessa osake S on esitetty pitkänä osto-optiona yrityksen V kokonaisarvoon nollakuponkilainan F lunastushinnalla:

$S=max(VF,0)$

Velka D puolestaan on edustettuna salkuna, joka on joko pitkä nollakuponilla F ja lyhyt laina yhtiön V osakkeelle toteutushinnalla F tai pitkä yrityksen V omaan pääomaan ja lyhyt osto V:lle lakkohinnalla F:

$D=F-max(FV,0)=V-max(VF,0)$

Muistiinpanot

↑ Roger Lowenstein, "Kun nerokas epäonnistui", luku 7 "Voimattomuuspankki", s.124
↑ Ei kreikkalainen kirjain.
↑ 1 2 niin kutsuttu paskiainen kreikkalainen. Tälle termille ei ole venäjänkielistä käännöstä, sillä se tarkoittaa, että erottelu suoritetaan parametrin mukaan, jota pidettiin vakiona kaavaa johdettaessa. Siksi paskiaisten kreikkalaisten käyttö voi johtaa vakaviin virheisiin kaupankäynnissä ja riskienhallinnassa.
↑ Rene M. Stulz. Luku 18: Luottoriskit ja luottojohdannaiset // Riskienhallinta ja johdannaiset. — Konsortio, 1999.

Kirjallisuus

musta, Fischer; Myron Scholes. Optioiden ja yritysvastuiden hinnoittelu // Journal of Political Economy : päiväkirja. - 1973. - Voi. 81 , no. 3 . - s. 637-654 . - doi : 10.1086/260062 . [yksi]
Merton, Robert C. Rational Option Pricing -teoria // Bell Journal of Economics and Management Science : päiväkirja. - The RAND Corporation, 1973. - Voi. 4 , ei. 1 . - s. 141-183 . - doi : 10.2307/3003143 . — .
Hull, John C.Optiot, futuurit ja muut johdannaiset. - Prentice Hall , 1997. - ISBN 0-13-601589-1 .