Modulaarinen ryhmä

Modulaarinen ryhmä on kaikkien muodon Möbius-muunnosten ryhmä $\Gamma$

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d)),

missä ovat kokonaisluvut ja . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

Modulaarinen ryhmä tunnistetaan tekijäryhmällä . Tässä on matriisiryhmä ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\))$ $SL(2,\;\mathbb {Z} )$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),

missä ovat kokonaisluvut , . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

Modulaarinen ryhmä on diskreetti ryhmä ylemmän kompleksisen puolitason ( Lobatševskin taso ) muunnoksia ja sallii esityksen generaattoreiden avulla ${\displaystyle H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\))$

S:z\mapsto -1/z,

T:z\mapsto z+1

ja relaatiot , eli on luvun 2 generoiman syklisen ryhmän ja luvun 3 luoman syklisen ryhmän vapaa tulo . $S^{2}=(ST)^{3}=1$ $S$ $ST$

Satunnaiselle muunnokselle modulaarisesta ryhmästä pätee seuraava yhtäläisyys: $g(z)={\frac {az+b}{cz+d))$

\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)

Koska imaginaariosa ei ole nolla ja luvut ja ovat kokonaislukuja, jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla, arvo erotetaan nollasta (se ei voi olla mielivaltaisen pieni). Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa pisteen kiertoradalla on sellainen, jossa kuvitteellinen osa saavuttaa maksiminsa. $z$ $c$ $d$ $|cz+d|^{2}$

Modulaarisen ryhmän perusalue (kanoninen) on suljettu toimialue

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.

On helppo tarkistaa komennolla (1), että modulaarisen ryhmän muunnokset eivät lisää pisteiden imaginaariosaa arvosta . Tästä seuraa, että jotta kaksi pistettä kuuluisi ryhmään , niiden imaginaariosan on oltava sama: . Seuraavat muunnokset ja pisteet täyttävät nämä ehdot: $D$ ${\näyttötyyli z,\;g(z)}$ $D$ $|cz+d|^{2}=1$

$g(z)=z,\;z$ - mikä tahansa kohta;
$g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} \,z=1/2;$
$g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} \,z=-1/2;$
${\näyttötyyli g(z)=-1/z,\;|z|=1.}$

Erityisesti kaikilla alueen pisteillä on triviaali stabilointiaine kolmea lukuun ottamatta: $D$

$\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
$\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
$\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

Lisäksi tästä seuraa, että kun ylempi puolitaso kerrotaan modulaarisen ryhmän toiminnalla, sisäpisteet näytetään injektiivisesti, kun taas rajapisteet liimataan pisteisiin, jotka "peilaavat" niitä suhteessa linjaan. . $D$ $\mathrm {Re} \,z=0$

Osoittaaksemme, että mikä tahansa piste osoitteesta on kongruentti johonkin pisteeseen alkaen , tarkastelemme sen kiertoradalla muunnoksilla ja pisteellä, jolla on suurin imaginaariosa ja kokonaislukusiirtoa käyttämällä siirrämme niin, että sen kuvan reaaliosasta tulee ei enemmän kuin 1/2 absoluuttisessa arvossa. Silloin kuva kuuluu (muuten, jos sen moduuli olisi pienempi kuin 1, imaginaariosaa voitaisiin tiukasti suurentaa muunnoksen avulla). $H$ $D$ $S$ $T$ $D$ $S$

On myös helppo osoittaa, että muunnokset ja luoda koko modulaarinen ryhmä. Antaa olla mielivaltainen modulaarinen muunnos ja olla sisäinen kohta . Kuten edellä on kuvattu, etsitään muunnos, joka muuttuu alueeksi . Pisteet ja sijaitsevat , ja on sisäinen, siksi . Sitten muunnos on pisteen stabilisaattorissa , joka on triviaali. Siksi kuuluu muunnosten ja . $S$ $T$ $g$ $z$ $D$ $g'$ $g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)=z$ $g'g$ $z$ ${\displaystyle g=(g')^{-1))$ $S$ $T$

Kiinnostus modulaarista ryhmää kohtaan liittyy modulaaristen funktioiden tutkimukseen , jonka Riemannin pinta on osamääräavaruus , joka tunnistetaan modulaarisen ryhmän perusalueeseen . Perustasolla on äärellinen alue (Lobatševskin geometrian merkityksessä), eli modulaarinen ryhmä on ensimmäisen tyyppinen fuksialainen ryhmä . $H/\,\Gamma$ $G$ $G$