Hölderin eriarvoisuus funktionaalisessa analyysissä ja siihen liittyvissä tieteenaloissa on tilojen perusominaisuus .
Olkoon avaruus, jolla on mitta , ja oltava muodon funktioiden avaruus, jolla on äärellinen integroitava -th aste. Sitten puolinormi määritellään jälkimmäisessä :
,missä , oletetaan yleensä luonnolliseksi numeroksi.
Anna , ja missä . Sitten ja
.Muotoilkaamme Hölderin epäyhtälö uudelleen ilmaisemalla normit vastaavilla integraaleilla.
Antaa olla tila mitta , , mitattavissa. Sitten:
Todistuksessa käytämme seuraavaa lausetta ( Youngin epäyhtälö ):
Laitetaan
Epäyhtälöä soveltamalla saamme:
Huomaa, että epäyhtälön oikea puoli summataan joukon yli (siis seuraa myös vasemman puolen summattavuus). Integroimalla eriarvoisuuden yli saamme:
Hölderin epäyhtälö on todistettu. Huomautus: Jos tai on yhtä suuri kuin 0, tämä tarkoittaa, että tai ovat yhtä suuria kuin nolla on , ja Hölderin epäyhtälö pätee ilmeisesti.
Asettamalla saadaan Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälö avaruudelle .
Harkitse euklidista avaruutta tai . -normilla tässä tilassa on muoto:
,ja sitten
.Antaa olla laskettava toimenpide . Sitten kaikkien sekvenssien joukko on sellainen, että:
,kutsutaan . Hölderin epäyhtälö tälle avaruudelle on muotoa:
.Antaa olla todennäköisyysavaruus . Sitten se koostuu satunnaismuuttujista , joiden viimeinen hetki on :, jossa symboli ilmaisee matemaattista odotusta . Hölderin epätasa-arvo tässä tapauksessa on muotoa:
.