Hölderin eriarvoisuus

Hölderin eriarvoisuus funktionaalisessa analyysissä ja siihen liittyvissä tieteenaloissa on tilojen perusominaisuus . $L^{p}$

Sanamuoto

Olkoon avaruus, jolla on mitta , ja oltava muodon funktioiden avaruus, jolla on äärellinen integroitava -th aste. Sitten puolinormi määritellään jälkimmäisessä : $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f:X \to \mathbb{R}$ $s$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\oikea)^{{1/ p}}

missä , oletetaan yleensä luonnolliseksi numeroksi. $p\geq 1$

Anna , ja missä . Sitten ja $f \in L^p$ $g\in L^{q}$ $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ $f\cdot g\in L^{1}$

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Todiste

Muotoilkaamme Hölderin epäyhtälö uudelleen ilmaisemalla normit vastaavilla integraaleilla.
Antaa olla tila mitta , , mitattavissa. Sitten: Todistuksessa käytämme seuraavaa lausetta ( Youngin epäyhtälö ): $X$ $\mu$ $E\alajoukko X$ $E$
$f\in L^{{p}},g\in L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\ Oikea nuoli \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\ int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q }}\,d\mu \right)^{{1/q}}$

$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{{1/p}}b^{{1 /q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Laitetaan
$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac { |g(x)|^{{q))}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E }|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$

Epäyhtälöä soveltamalla saamme:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^ {{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\right)$

Huomaa, että epäyhtälön oikea puoli summataan joukon yli (siis seuraa myös vasemman puolen summattavuus). Integroimalla eriarvoisuuden yli saamme: Hölderin epäyhtälö on todistettu. Huomautus: Jos tai on yhtä suuri kuin 0, tämä tarkoittaa, että tai ovat yhtä suuria kuin nolla on , ja Hölderin epäyhtälö pätee ilmeisesti. $E$ $E$
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1 }{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$

$I_1$ $minä_{2}$ $f$ $g$ $E$

Erikoistapaukset

Cauchyn ja Bunyakovskin epätasa-arvo

Asettamalla saadaan Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälö avaruudelle . $p=q=2$ $L^{2}$

Euklidinen avaruus

Harkitse euklidista avaruutta tai . -normilla tässä tilassa on muoto: $E={\mathbb {R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\oikea)^{{1/p}} ,\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}

ja sitten

\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}| x_{i}|^{p}\oikea)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q }\oikea)^{{1/q}},\;\forall x,y\in E

Välilyönti l p

Antaa olla laskettava toimenpide . Sitten kaikkien sekvenssien joukko on sellainen, että: $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\mathbb {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\|x\|_{p}=\summa _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}<\infty

kutsutaan . Hölderin epäyhtälö tälle avaruudelle on muotoa: $l^{p}$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{ {\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }} |y_{n}|^{q}\oikea)^{{1/q}},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}

Todennäköisyysavaruus

Antaa olla todennäköisyysavaruus . Sitten se koostuu satunnaismuuttujista , joiden viimeinen hetki on :, jossa symboli ilmaisee matemaattista odotusta . Hölderin epätasa-arvo tässä tapauksessa on muotoa: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $s$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\mathbb {E}}$

{\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E }}|Y|^{q}\oikea)^{{1/q}},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}

Katso myös

Kirjallisuus

Sobolev S.L. Jotkut funktionaalisen analyysin sovellukset matemaattisessa fysiikassa. — 3. painos, tarkistettu ja täydennetty. — M .: Nauka , 1988. — 336 s. — ISBN 5-02-013756-1 .
Vulikh B.Z. Lyhyt kurssi reaalimuuttujan funktion teoriasta. - 2. painos, tarkistettu ja täydennetty. — M .: Nauka , 1973. — 352 s.