Cauchyn ja Bunyakovskyn epätasa-arvo

Cauchyn ja Bunyakovskyn epäyhtälö yhdistää vektorien normin ja skalaaritulon euklidisessa tai Hilbert-avaruudessa . Tämä epäyhtälö vastaa normin kolmioepäyhtälöä . Erikoistapaus Hölderin epätasa - arvosta ja Jensenin eriarvoisuudesta [1] .

Cauchy-Bunyakovsky-epätasa-arvoa kutsutaan joskus, varsinkin ulkomaisessa kirjallisuudessa, Schwartzin epätasa-arvoksi ja Cauchyn-Bunyakovsky-Schwartzin epätasa-arvoksi , vaikka Schwartzin teokset tästä aiheesta ilmestyivät vasta 25 vuotta Bunyakovskyn teosten jälkeen [2] . Tämän epätasa-arvon äärellisulotteista tapausta kutsutaan Cauchyn epäyhtälöksi , ja Cauchy todisti sen vuonna 1821 .

Sanamuoto

Olkoon annettu lineaarinen avaruus skalaaritulolla . Olkoon skalaaritulon generoima normi, eli . Sitten kaikille, mitä meillä on: $L$ $\langle x,\;y\rangle$ $\|x\|$ $\|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L$ $x,\;y\in L$

|\langle x,\;y\rangle| \leqslant\|x\|\cdot\|y\|,

lisäksi tasa-arvo saavutetaan jos ja vain jos vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia ( kollineaarinen tai niiden joukossa on nolla). $x$ $y$

Esimerkkejä

Tärkeä erikoistapaus, jota usein käytetään lukuteoriassa, on tapaus, jossa yksi vektoreista koostuu kokonaan vektoreista:

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\oikea)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i=1 }^{n}{1}}\right)\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}=n\sum \limits _{i=1} ^{n}{{x_{i}}^{2}}

Monimutkaisten neliösummattavien sekvenssien avaruudessa Cauchyn ja Bunyakovskyn epäyhtälöllä on muoto: $l^2$

\left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right) \cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),

missä tarkoittaa monimutkaista konjugaatiota . $\bar{y}_k$ $y_{k}$

Monimutkaisten neliöintegroitavien funktioiden avaruudessa Cauchyn ja Bunyakovskyn epäyhtälöllä on muoto: $L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$

\left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right| ^2\,\mu(dx)\oikea)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\oikea).

Satunnaismuuttujien avaruudessa, joilla on äärellinen toinen momentti , Cauchyn ja Bunyakovskyn epäyhtälöllä on muoto: $L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P})$ $\mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],$

missä on kovarianssi ja on varianssi .

\mathrm{cov}

\mathrm{D}

Kahdelle riippumattomalle satunnaismuuttujalle ja Cauchy-Bunyakovsky-epäyhtälöllä on muoto : $\xi$ $\eta$ $\left[\mathbf {M} (\eta \cdot \xi )\right]^{2}\leqslant \mathbf {M} \left[\eta ^{2}\cdot \xi ^{2} \right]=\mathbf {M} \eta ^{2}\cdot \mathbf {M} \xi ^{2}.$

Todistusmenetelmät

Eriarvoisuuden todistamiseen on olemassa vain muutama olennaisesti erilainen lähestymistapa. Kuitenkin sen universaalisuuden vuoksi samat siihen johtavat muodolliset toiminnot voidaan kuvata eri termein. Tästä syystä jotkut kirjoittajat esittävät epätasa-arvon olevan erittäin paljon todisteita. [3]

Esityksen helpottamiseksi tässä osiossa, ellei toisin mainita, todisteet on kuvattu vain avaruudelle, jonka ulottuvuus on äärellinen, eli äärellisille jonoille , . $\mathbb {R}$ ${\näyttötyyli (x_{1},\pisteet ,x_{n})}$ $(y_{1},\dots ,y_{n})$

Kombinatorinen ( permutaatioepäyhtälön kautta )

Yksivektoritapaus

Anna . Laajentamalla neliötä ja tekemällä korvaus , summan neliö voidaan jakaa lohkoihin seuraavasti: $y_{1}=\dots =y_{n}=1$ $t=ij$

{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i))}\right)}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{ n}\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{i}x_{j}}=\sum \limits _{t=0}^{n-1}{\left({\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{j}x_{j+t}}}\right)}\ ,

jossa merkinnät vastaavat . Permutaatioepäyhtälöstä sekvenssin kahdelle kopiolle ja permutaatioille $x_{n+1},x_{n+2},\dots$ $x_{1},x_{2},\dots$ ${\näyttötyyli (x_{1},\pisteet ,x_{n})}$

\sigma _{t}(j):=((t+j-1)\mod {n})+1,\ \ \ t=0,\dots ,n-1

tästä seuraa, että yksikään sisäinen summa ei ylitä . $\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2))$

Yleinen tapaus

Jos kaikki ovat kokonaislukuja, niin laajentamalla tuotteita ja käyttämällä jo todistettua erikoistapausta tuloksena oleville termeille saamme $y_{i}$ $x_{i}y_{i}=\alaviiva {x_{i}+\pisteet +x_{i}} _{y_{i}}$ $\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i))$

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}\right)^{2}=\left(\sum \limits _{i=1 }^{n}{\alaviiva {x_{i}+\pisteet +x_{i}} _{y_{i}}}\oikea)^{2}\leq \left({\sum \limits _{i =1}^{n}{y_{i))}\oikea)\vasen({\sum \limits _{i=1}^{n}{\alaviiva {x_{i}^{2}+\pisteet +x_{i}^{2}} _{y_{i}}}}\oikea)=\vasen({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\oikea )\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ ,

Jakamalla molemmat osat kokonaisluvuilla saadaan sama epäyhtälö rationaalisille , ja mielivaltaisten reaalien yleistys seuraa yhteen- ja kertolaskujen jatkuvuudesta . Tämä väite vastaa täsmälleen sekvenssien Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälöä $y_{i}$ $y_{i}$

{\displaystyle {x'}_{i}:=x_{i}{\sqrt {y_{i))))

{\displaystyle {y'}_{i}:={\sqrt {y_{i))))

Siksi mielivaltaisen epätasa-arvo seuraa käänteisen substituution mahdollisuudesta ${\displaystyle ({x'}_{i})_{i=1}^{n))$ ${\displaystyle ({y'}_{i})_{i=1}^{n))$

x_{i}:={\frac {{x'}_{i}}{{y'}_{i}}}

{\displaystyle y_{i}:={y'}_{i}^{2))

Todennäköisyyslaskenta (neliöiden summan kautta)

Idea (varianssiesimerkissä)

Tämän menetelmän tunnetuin toteutus on satunnaismuuttujan varianssin huomioiminen . On selvää, että jos arvo ottaa ei-negatiivisia arvoja, niin sen matemaattinen odotus on myös ei-negatiivinen, joten

\mathbb {E} \left[{({X-\mathbb {E} [X]})^{2}}\right]\geq 0

mille tahansa satunnaismuuttujalle . Matemaattisen odotuksen lineaarisuudesta johtuen siitä seuraa, että $X$

0\leq \mathbb {E} \left[{(X-\mathbb {E} [X])^{2}}\right]=\mathbb {E} \left[{X^{2} -2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X] \mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}

Anna kaiken ja . Satunnaismuuttujalle , joka saa arvon todennäköisyydellä , tämä epäyhtälö tarkoittaa sitä $y_{i}>0$ $B:=\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}$ $X$ $x_{i}$ ${\frac {y_{i}}{B}}$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}{\frac {y_{i}}{B}}}}\right)^{2}=\ mathbb {E} [X]^{2}\leq \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}{ \frac {y_{i}}{B}}}\ ,

tuo on

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))}\right)\leq B\sum \limits _{i=1}^{ n}{x_{i}^{2}y_{i}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}}\right)\left({\ summa \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}y_{i}}}\right)\ .

Näin ollen Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälö voidaan saada samalla muuttujien muutoksella kuin käytettäessä permutaatioepäyhtälöä.

Tulkinta ja vaihtoehtoiset muodot

Muuttujien muutoksen jälkeen edellä kuvattu suuren matemaattinen odotus saa muotonsa

\mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{n}({\frac {x_{i}}{y_{i}}}\cdot {\frac {y_ {i}^{2}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Siksi todennäköisyyspohjainen todistus pohjimmiltaan ottaa huomioon summan

\sum \limits _{i=1}^{n}{\left(({\frac {x_{i}}{y_{i}}}-\sum \limits _{j=1}^ {n}{\left({{\frac {x_{j}}{y_{j}}}\cdot {\frac {y_{j}^{2}}{\sum \limits _{k=1} ^{n}{y_{k}^{2}}}}\oikea)}}\oikea)^{2}{\frac {y_{i}^{2}}{\sum \limits _{j =1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\ .

Tämän summan ilmeisestä (hakasulkeen neliöinnin vuoksi) ei-negatiivisuudesta johdetaan hakasulkua avaamalla saatujen termien välinen suhde - kaksi kolmesta sellaisesta termistä pelkistyy yhdeksi (ne eroavat vain vakiolla) johtuen kaavan rakenne. Muuttamalla normalisointia (jakamalla summilla) lisäämällä kertoimet sulkuihin ja kertomalla vakio, on helppo nähdä, että tämä lähestymistapa on samanlainen kuin visuaalisemman summan käyttäminen

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{x_{ j}y_{j))))-{\frac {y_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2}}}}}\oikea) }^{2}}\ .

Epäyhtälöt tällaisten summien kanssa, jotka on kirjoitettu viittaamatta todennäköisyysmääritelmiin, pysyvät oikein ilman edellisen osan ehtoa. Erityisesti mielivaltaiselle Hilbert-avaruudelle, kuten voimme harkita epäyhtälöä $y_{i}>0$ $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {R}$

0\leq \left\vert \left\vert {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{||x||^{2))}x}\right\vert \ right\vert ^{2}\leq \left\langle {y-{\frac {\langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x,y-{\frac { \langle {x,y}\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}x}\right\rangle =\langle {y,y}\rangle -2{\frac {\langle {x,y }\rangle }{\langle {x,x}\rangle }}\langle {x,y}\rangle +{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2}}{\langle {x, x}\rangle ^{2))}\langle {x,x}\rangle =\langle {y,y}\rangle -{\frac {\langle {x,y}\rangle ^{2)){\ langle {x,x}\rangle }}\ ,

ja kun riittää kertominen muodon kompleksiluvulla kaiken vähentämiseksi ensimmäiseen tapaukseen. $\langle {x,y}\rangle \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ $x$ $e^{\varphi i},\varphi \in \mathbb {R}$

Samalla tavalla voit käyttää toista, symmetristä summaa, jossa sulkeiden avaamisen jälkeen kumotaan kaksi äärimmäistä termiä (saatu neliöimällä) eikä äärimmäistä keskimmäisen kanssa:

\sum \limits _{i=1}^{n}{{\left(({\frac {x_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n} {x_{j}^{2}}}}}-{\frac {y_{i}}{\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2} }}}}}}\oikea)}^{2}}\ .

tai mikä on sama,

\left\vert \left\vert {{\frac {x}{||x||}}-{\frac {y}{||y||}}}\right\vert \right\vert ^{2}\ .

Todennäköisyyslaskennan lisäksi tällaisten summien käyttöä voidaan kuvata toisen asteen yhtälön diskriminantin tai geometrisen keskiarvon ja aritmeettisen keskiarvon välisen epäyhtälön estimaatin avulla . [neljä]

Suora (ryhmittelytekijöiden kautta)

Toinen (tosin kahden edellisen työkaluja vaativa) idea on esittää epätasa-arvoa muodossa

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}\right)\left({\sum \limits _{j=1}^ {n}{x_{j}y_{j}}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{ i}y_{j})(x_{j}y_{i})}\leq \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{( x_{i}y_{j})^{2}}=\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}\oikea)\vasen( {\sum \limits _{j=1}^{n}{y_{j}^{2))}\right)\ .

Tämä muoto voidaan todistaa kahdella tavalla:

vertaamalla kaikkia termejä yhdessä vaiheessa, soveltamalla permutaatioepäyhtälöä kahdelle joukon kopiolle ja permutaatiolle [5] ; $(x_{i}y_{j})_{(i,j)\in [1;n]^{2))$ ${\näyttötyyli \sigma (i,j):=(j,i)}$

vertaamalla kutakin termiä erikseen soveltamalla geometrisen keskiarvon ja aritmeettisen keskiarvon epäyhtälöä kahdelle muuttujalle , mikä vastaa olennaisesti vastaavan vektorin muodon tai normin neliösumman huomioimista mielivaltaisten Hilbert-avaruuksien tensoritulossa . [6] ${\displaystyle a=x_{i}y_{j},\ b=x_{j}y_{i))$ $\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}{(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i} )^{2}}$

Tapauksen n=2 soveltaminen summiin

Epäyhtälö voidaan saada induktiolla, jonka vaihe -: nteen termiin siirtyminen on soveltaa samaa epäyhtälöä kahdelle termille. Induktiivinen oletus sekvensseille antaa epäyhtälön $n$ $(n+1)$ $(x_{i})_{i=1}^{n}$ ${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{n))$

\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\väri {punainen}{x_{i}}\väri {sininen}{y_{i}}}}\oikea)+ x_{n+1}y_{n+1}\leq \left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\väri {punainen}{x_{i}}^{2}}} \right)^{\frac {1}{2}}\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\color {blue}{y_{i}}^{2}}} \oikea)^{\frac {1}{2}}+x_{n+1}y_{n+1}

Ja sekvenssien tapauksessa se on helppo nähdä $n = 2$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\oikea)^{\frac {1}{2 }},x_{n+1}}\oikea)$ $\left({\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\oikea)^{\frac {1}{2 }},y_{n+1}}\oikea)$

{\color {red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\oikea)^{\frac {1 }{2)))){\väri {sininen}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\oikea)^{ \frac {1}{2))))+{\väri {punainen}{x_{n+1}}\väri {sininen}{y_{n+1}}}\leq \left({{\color { red}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{2}}}\oikea)^{{\frac {1}{2}}\ väri {musta}{\cdot 2}}}}+{\color {red}{x_{n+1}}^{2}}}\right)\left(({\väri {sininen}{\vasen( {\sum \limits _{i=1}^{n}{{y_{i}}^{2}}}\oikea)^{{\frac {1}{2}}\väri {musta}{\ cdot 2))))+{\väri {sininen}{y_{n+1}}^{2}}}\right)=\left({\sum \limits _{i=1}^{n+1 }{x_{i}^{2}}}\oikea)\vasen({\sum \limits _{i=1}^{n+1}{y_{i}^{2}}}\oikea)

Siten epäyhtälö on todistettu mielivaltaiseksi induktiolla emäksellä . Kanta voidaan todistaa millä tahansa muulla tavalla (esimerkiksi epäyhtälöllä ). [7] On olemassa myös visuaalisia geometrisia todisteita. [8] [9] $n$ $n = 2$ $(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0$ $n = 2$

Kirjallisuus

Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Erilaisia todisteita Cauchy-Schwarzin epäyhtälöstä // Octogon matemaattinen aikakauslehti. - 2009. - Vol. 17 , iss. 1 . — s. 221–229 .

Muistiinpanot

↑ Katso todiste 11 julkaisusta Wu, 2009
↑ Bounjakowsky W. "Mémoires de l'Académie des sciences de St-Petersbourg. 7-sarja", 1859, t. 1, nro 9.
↑ Wu, 2009 .
↑ Katso todisteet 2 (for ), 5 julkaisussa Wu, 2009 ensimmäisestä summasta ja todisteet 3, 4, 8 samassa toisessa. $x={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i))}{\sum \limits _{i=1}^{n}{ a_{i}^{2}}}}}$
↑ Katso todiste 7 julkaisusta Wu, 2009 .
↑ Katso todisteet 1, 6 (tapaukselle ) ja 12 (induktion laajentamisen, eli eri summan jälkeen ) julkaisusta Wu, 2009 . $n = 2$ $S_{n+1}-S_{n}$
↑ Katso todiste 6 julkaisusta Wu, 2009 .
↑ Katsaus Cauchyn-Bunyakovsky-epätasa-arvon todisteisiin Arkistoitu 25. elokuuta 2021 Wayback Machinessa (katso geometriset todistukset sivuilta 15-18) $n = 2$
↑ Interaktiivinen geometrisen todisteen esittely . Haettu 25. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 25. elokuuta 2021. (määrätön)