Redusoitumaton murto-osa

Matematiikassa pelkistymätön ( pelkistetty ) murto -osa on muodon tavallinen murto -osa, jota ei voida pelkistää . Toisin sanoen murto-osa on redusoitumaton, jos sen osoittaja ja nimittäjä ovat koprime [1] , eli niillä ei ole yhteisiä jakajia paitsi . Esimerkiksi murto-osa on redusoitumaton, mutta voit pienentää: $\pm {\frac {m}{n}}$ $\pm 1$ ${\frac {121}{90}}$ ${\frac {120}{90}}$ ${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.$

Yhteiset murtoluvut

Jokainen nollasta poikkeava rationaalinen luku voidaan esittää yksiselitteisesti muodon pelkistämättömänä murto-osana, jossa on kokonaisluku ja luonnollinen luku. Tämä seuraa aritmetiikan peruslauseesta . Jos nimittäjä saa olla negatiivinen , toinen redusoitumaton esitys on mahdollinen: ${\frac {m}{n)),$ $m$ $n$ $n$

-{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}

Tavallisen murtoluvun pelkistämiseksi redusoitumattomaan muotoon on tarpeen jakaa sen osoittaja ja nimittäjä suurimmalla yhteisellä jakajalla [2] GCD Suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi käytetään tavallisesti Eukleideen algoritmia tai jakoa alkutekijöihin . $\pm {\frac {m}{n))$ ${\näyttötyyli (m,n).}$

Kokonaisluvulle n pelkistymättömän murtoluvun esitys on

n={\frac {n}{1}}\

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yleisille murtoluvuille olemassa olevat pelkistymättömyyden ominaisuudet pätevät mielivaltaiselle tekijärenkaalle , eli renkaalle, jossa aritmeettisen peruslauseen analogi pätee . Mikä tahansa tekijärenkaan alkioiden murto-osa (jolla on nollasta poikkeava nimittäjä) voidaan esittää pelkistymättömässä muodossa ja yksiselitteisesti tämän renkaan ykseyden jakajiin asti .

Gaussin lukujen rengas koostuu kompleksiluvuista , jotka ovat muotoa missä ovat kokonaislukuja. Yksikköluvulla on neljä jakajaa: Tämä rengas on tekijä, ja sen murtoteoria on rakennettu samalla tavalla kuin kokonaislukuja. Esimerkiksi [3] on helppo tarkistaa , että murto-osa voidaan pelkistää (jo redusoitumattomaan) $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$ ${\frac {4+2i}{4+7i}}$ ${\frac {2}{3+2i}}.$

Polynomit , joiden kertoimet ovat peräisin jostain renkaasta, muodostavat myös tekijärenkaan – polynomien renkaan . rationaaliset funktiot eli murtoluvut, joiden osoittajissa ja nimittäjissä ovat polynomit . Yksikön jakajat ovat tässä nollasta poikkeavia lukuja (kuten nolla-asteen polynomeja). Esityksen moniselitteisyys voidaan poistaa vaatimalla, että nimittäjässä olevaa polynomia pienennetään .

Kuitenkin mielivaltaisessa renkaassa murtolukujen renkaan elementillä ei yleisesti ottaen vaadita ainutlaatuista, jopa yksikön jakajia, esitysmuotoa pelkistymättömän murtoluvun muodossa, koska aritmeettisen päälause ei päde. jokaisessa kehässä [4] . Harkitse esimerkiksi kompleksilukuja muodossa , jossa , ovat kokonaislukuja. Tällaisten lukujen summa ja tulo ovat samanlaisia lukuja, joten ne muodostavat renkaan. Se ei kuitenkaan ole tekijällinen, ja murtolukujen pelkistymätön esitys on moniselitteinen, esimerkiksi: $a=m+in{\sqrt {5}}$ $m$ $n$

{\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5))))}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac { 1-i{\sqrt {5}}}{3}}

Toisella ja kolmannella murtoluvulla on sekä osoittaja- että nimittäjän alkuluvut määritetylle renkaalle, joten molemmat murtoluvut ovat redusoitumattomia.

Muistiinpanot

↑ Gusev, Mordkovich, 2013 , s. 29-30.
↑ Vygodsky, 2006 , s. 81-82.
↑ Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Zhikov V.V. Aritmetiikan peruslause // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nro 3 . - S. 112-117 .

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka: opinto-opas. — M .: Astrel, 2013. — 671 s. - (Opiskelijan käsikirja). - ISBN 978-5-271-07165-2 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Alennettu murtoluku Wolfram MathWorldissä .