Laplace-integraalin käännös

Olkoon kompleksisen muuttujan funktio täyttävä seuraavat ehdot: $F$ $p=x+iy$

$F$ — analyyttinen alalla _ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$
alueella tasaisesti suhteessa _ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F\to 0$ $|p|\to +\infty$ $\arg p$
integraali konvergoi kaikille $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy$

Tällöin funktio for on kuva reaalimuuttujan funktiosta , joka löytyy kaavalla $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $f$ $t$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p) \,dp,\quad x>a

Tätä kaavaa kutsutaan Mellinin kaavaksi ja integraaliksi Mellinin integraaliksi (nimetty matemaatikon Hjalmar Mellinin mukaan ). Monissa tapauksissa Mellinin integraali voidaan laskea käyttämällä jäännöksiä . Nimittäin jos toimialueella määritelty funktio voidaan analyyttisesti laajentaa kompleksisen muuttujan koko tasolle, jossa on äärellinen määrä singulaarisia pisteitä ja sen analyyttinen jatkuvuus tyydyttää Jordan-lemman ehdoilla , niin $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n))$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p<a$

f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k))(e^{pt}F(p))

Katso myös

Ensimmäinen hajoamislause
Toinen hajoamislause