Operade

Operadi antaa yleisen lähestymistavan kuvailemaan sellaisia ominaisuuksia kuin kommutatiivisuus tai antikommutatiivisuus sekä erilaisia assosiatiivisuuden muunnelmia . Algebran ja operaatioiden suhde on samanlainen kuin ryhmien ja ryhmien esitysten suhde .

Määritelmä

Operad ( monilineaaristen operaatioiden klooni ) on joukko joukkoja , joissa on symmetristen ryhmien vasen toiminto vastaavien ryhmien kohdalla ja kokoonpanooperaatioilla : ${\displaystyle \{R_{n},\;n\geqslant 1\))$ $S_{n}$ $R_n$

R_{n_{1}}\times \ldots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\to R_{n_{1}+\ldots +n_{m}}:(r_{ 1},\;\ldots ,\;r_{m},\;r)\to r_{1}\ldots r_{m}r,

tyydyttää yleistyneet assosiaatioidentiteetit :

(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}r_{1})\ldots (r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m}r_{ m})r=(r_{11}r_{21}\lpisteitä r_{k_{1}1}\lpisteitä r_{1m}r_{2m}\lpisteitä r_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r)

ja yksikön läsnäolo . $\varepsilon \in R_{1}:(\varepsilon \ldots \varepsilon )r=r,\quad r\varepsilon =r$

Operadin sanotaan olevan lineaarinen , jos on välilyöntejä , symmetriset ryhmätoiminnot ovat esityksiä ja sävellykset ovat multilineaarisia . $R_n$ $S_{n}$

Lineaarisen operadin yli oleva algebra on avaruus , jossa on monilineaarisia kokoonpanooperaatioita : $A$

A^{\otimes n}\otimes _{S_{n))R_{n}\to A:a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1} \ldots a_{n}r

unititeetti- ja yleistyneet assosiaatioominaisuudet : $a\varepsilon =a$

(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}r_{1})\ldots (a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m}r_{ m})r=(a_{11}a_{21}\lpisteitä a_{k_{1}1}\lpisteitä a_{1m}a_{2m}\lpisteitä a_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r).

Esimerkkejä

Operoidut rakenteet kuvaavat joukon algebrallisia järjestelmiä , topologisia, kombinatorisia objekteja.

Yksinkertaisin operadi on assosiatiivinen rengas , jonka yksikkö on: . Sen yläpuolella oleva algebra on oikea - moduuli . $R$ ${\displaystyle R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\))$ $R$
Lineaarisen operadin rakenne voidaan määritellä ryhmäalgebroiden perheelle symmetristen ryhmien yli sekä on , jossa on monoidi . $\{k(S_{n}),\;n\geqslant 1\}$ $\{k(G^{n}),\;n\geqslant 1\}$ $G$

Historia

Stashef käytti ensimmäisenä vuonna 1963 julkaisemassaan asiakirjassa operadien algebroita, ilman näiden käsitteiden tarkkaa Amerikkalainen matemaatikko Murray Gerstenhaber esitteli koostumuksen kompleksit vuoden 1968 julkaisussa . Neuvostoliiton algebraisti V. A. Artamonov esitteli monilineaaristen operaatioiden kloonit ja monioperaattorialgebrat vuoden 1969 artikkelissa . Hieman myöhemmin amerikkalainen topologi J. Peter May löysi operaatioiden ja niihin liittyvien algebroiden käsitteen. Siitä lähtien länsimaiset tiedemiehet pitävät Peter Maya operaatioiden keksijänä. [1] Samoihin aikoihin amerikkalainen topologi Michael Boardman ja saksalainen topologi Rainer Vogt kirjoittivat operaateorian klassikkona pidetyn asian, jotka käyttivät sen sijaan nimiä MacLanen PROP:t ja Loverin algebralliset teoriat.

Muistiinpanot

↑ viikko 220 . Haettu 18. maaliskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2006. (määrätön)

Kirjallisuus

Stasheff JD Homotopy H-Spaces-assosiatiivisuus. I // Transactions of the American Mathematical Society. - 1963. - voi. 108.-No. 2.-s. 275-292.
Gerstenhaber M. Renkaiden ja algebroiden muodonmuutoksista: III // Annals of Mathematics, Second Series. - 1968. - voi. 88.-No. 1.-s. 1-34.
Artamonov VA Multilineaaristen operaatioiden ja monioperaattorialgebroiden kloonit // Uspekhi Mat. - 1969. - v. 24. - Nro 1. - s. 47-59.
Toukokuu JP Iteroitujen silmukkaavaruuksien geometria // Matematiikan luentomuistiinpanot. - vol. 271. - Berliini: Springer-Verlag, 1972. - 175 s.
Boardman JM; Vogt RM Homotopy Invariantit algebralliset rakenteet topologisissa avaruuksissa // Matematiikan luentomuistiinpanot. - vol. 347. - Berliini: Springer-Verlag, 1973.