Ortogonaalinen muunnos

Ortogonaalinen muunnos on euklidisen avaruuden lineaarinen muunnos, joka säilyttää vektorien pituudet tai (vastaavasti) pistetulon . Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa kahden vektorin yhtäläisyys $A$ $L$ $x,y\in L$

\langle A(x),\,A(y)\rangle =\langle x,\,y\rangle ,

jossa kolmiosulut osoittavat skalaarituloa avaruudessa . $\langle x,\,y\rangle$ $L$

Ominaisuudet

Ortogonaaliset muunnokset (ja vain ne) muuttavat euklidisen avaruuden yhden ortonormaalin kannan toiseksi ortonormaaliksi.
Lineaarisen muunnoksen ortogonaalisuuden välttämätön ja riittävä ehto on yhtäläisyys $A$ $A^{*}=A^{-1},\qquad (*)$

missä on konjugaatti ja käänteismuunnos.

A^{*}

A^{{-1}}

Ortonormaalilla pohjalla ortogonaaliset muunnokset (ja vain ne) vastaavat ortogonaalisia matriiseja . Siten matriisin ortogonaalisuuden kriteeri on yhtälö (*), jossa on transponoitu ja matriisin käänteisarvo. $A$ $A^{*}$ $A^{{-1}}$
Ortogonaalisten muunnosten ominaisarvot ovat modulo , ja eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit (yleisesti sanottuna kompleksit ) ovat ortogonaalisia. Esimerkiksi matriisin ominaisarvot ovat , ja ominaisvektorit ovat . $yksi$ ${\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix))$ $\cos \varphi \pm i\cdot \sin \varphi$ ${\begin{pmatrix}1\\\mp i\end{pmatrix}}$
Ortogonaalisen muunnoksen determinantti on ( oikea ortogonaalinen muunnos ) tai ( väärä ortogonaalinen muunnos ). $yksi$ $-yksi$
Mielivaltaisessa ulotteisessa euklidisessa avaruudessa ortogonaalinen muunnos on äärellisen määrän heijastuksia koostumus . $n$
Kaikkien euklidisen avaruuden ortogonaalisten muunnosten joukko muodostaa ryhmän koostumuksen operaatioon nähden , annetun euklidisen avaruuden ortogonaalisen ryhmän . Oikeat ortogonaaliset muunnokset muodostavat normaalin alaryhmän tässä ryhmässä ( erityinen ortogonaalinen ryhmä ).

Dimension 2

Euklidisen tason tapauksessa mikä tahansa oikea ortogonaalinen muunnos on kierto jonkin kulman läpi ja sen matriisilla missä tahansa ortonormaalissa perustassa on muoto $\varphi$

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Väärän ortogonaalisen muunnoksen matriisilla on muoto

{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Se on symmetrinen, sen ominaisarvot 1 ja −1, ja siksi se on involuutio. Sopivalla ortonormaalilla pohjalla väärällä ortogonaalisella muunnosmatriisilla on muoto

{\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}},

eli se on heijastus jostain linjasta. Oikea ortogonaalinen muunnos on kahden heijastuksen tulos:

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\ \ \ 0\\0& -1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Dimension 3

Kolmiulotteisessa avaruudessa mikä tahansa oikea ortogonaalinen muunnos on kiertoa jonkin akselin ympäri, ja mikä tahansa epäasianmukainen muunnos on kierto akselin ympäri ja heijastus kohtisuorassa tasossa.

Mitta n

Seuraava yleinen lause pätee:

Jokaiselle euklidisen ulottuvuuden avaruuden ortogonaaliselle muunnokselle on voimassa seuraava laajennus $A\colon L\to L$ $n$ $L$

L=L_{1}\oplus L_{{-1}}\oplus M_{{\varphi _{1}}}\oplus \ldots \oplus M_{{\varphi _{k}}},

jossa kaikki aliavaruudet ja ovat pareittain ortogonaalisia ja ovat muunnoksen invariantteja aliavaruuksia , ja: $L_{1},$ ${\displaystyle L_{-1))$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $A$

rajoitus on ( identiteetin muunnos), $A$ $L_{1}$ $E$
rajoitus varustetuille , _ $A$ ${\displaystyle L_{-1))$ ${\näyttötyyli -E}$
kaikki tilat ovat kaksiulotteisia (tasoja), ja rajoitteena on tason kierto kulman läpi . $M_{{\varphi _{i}}}$ $A$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $M_{{\varphi _{i}}}$ $\varphi _{i}$

Muunnosmatriisin suhteen tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti:

Jokaiselle ortogonaaliselle muunnokselle on olemassa sellainen ortonormaalikanta, jossa sen matriisilla on lohkodiagonaalinen muoto: $A$

A=\left({\begin{matrix}\,1&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&\ddots &{}& {}&{}&{}&0&{}&{}\\\,{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{} &{}&-1&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&\ddots &{}&{}&{}&{} \\\,{}&{}&{}&{}&{}&-yksi&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{} &A_{{\varphi _{1}}}&{}&{}\\\,{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&\ddots &{}\\\,{} &{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_({\varphi _{k}}}\\\end{matrix}}\right),

missä on rotaatiomatriisi (katso yllä oleva kaava), ykkösten lukumäärä on yhtä suuri kuin aliavaruuden dimensio ja miinus ykkösten määrä on yhtä suuri kuin aliavaruuden mitta . $A_{{\varphi _{i}}}$ ${\varphi _{i))$ $L_{{1}}$ ${\displaystyle L_{-1))$

Tätä ortogonaalisen muunnosmatriisin merkintää kutsutaan joskus kanonisoinniksi. $A$

Katso myös

ortogonaalinen matriisi
Diskreetti ortogonaalinen muunnos

Kirjallisuus

Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. Moskova: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, Moskova: Nauka, 1971.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. Moskova: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak Lineaarinen algebra. - Fizmatlit, Moskova, 1999.
Gantmakher F. R. Matriisiteoria, - M.: Nauka, 1966.
Gel'fand I. M. , Lineaarinen algebra . Luentokurssi.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.