Riemannin geometrian peruslause

Riemannin geometrian peruslause sanoo, että missä tahansa Riemannin monistossa (tai pseudo-Riemannin monistossa ) on ainutlaatuinen vääntövapaa metriyhteys , jota kutsutaan annetun metriikan Levi-Civita- yhteydeksi . Tässä metrinen (tai Riemannilainen ) yhteys on yhteys, joka säilyttää metrisen tensorin .

Sanamuoto

Riemannin geometrian peruslause . Olkoon ( M , g ) Riemannin monisto (tai pseudo-Riemannin monisto ). Sitten on ainutlaatuinen affiiniyhteys ∇, joka täyttää seuraavat ehdot:

mille tahansa vektorikentille X , Y , Z

\partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,

jossa on funktion derivaatta pitkin vektorikenttää X .

\partial _{X}\langle Y,Z\rangle

\langle Y,Z\rangle

mille tahansa vektorikentille X , Y

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],

jossa [ X , Y ] tarkoittaa vektorikenttien X , Y Lie -sulkua .

Ensimmäinen ehto tarkoittaa, että metrinen tensori säilyy rinnakkaissiirrossa , ja toinen ehto ilmaisee, että yhteyden vääntö on nolla.

Peruslauseen yleistys väittää, että pseudo-Riemannin monistossa on ainutlaatuinen yhteys, joka säilyttää metrisen tensorin millä tahansa tietyllä vektoriarvoisella 2-muodolla sen vääntönä.

Todiste

Seuraava tekninen todiste on kaava yhteyden Christoffel-symboleille paikallisessa koordinaatistossa. Tietylle metrille tämä yhtälöjärjestelmä voi tulla melko monimutkaiseksi. On olemassa nopeampia ja yksinkertaisempia menetelmiä saada Christoffel-symbolit tietylle mittarille, kuten käyttämällä toimintaintegraalia ja siihen liittyviä Euler-Lagrange-yhtälöitä.

Olkoon m jakosarjan M mitta . Joissakin paikalliskartoissa harkitse vakiokoordinaattivektorikenttiä

{\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i))},\qquad i=1,\dots ,m

Paikallisesti metrisen tensorin elementillä g ij on muoto

g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle

Liitettävyyden asettamiseen riittää, että kaikki i , j ja k määritetään

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle

Muista, että paikallinen yhteys saadaan m 3 sileällä funktiolla

{\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\))

missä

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}

Ei-vääntötila tarkoittaa sitä

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}

Toisaalta yhteensopivuus Riemannin metriikan kanssa kirjoitetaan muodossa

\partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k))\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _ {i},\nabla _{\osittainen _{k}}\osittainen _{j}\oikea\kulma

Kiinteille i :lle , j :lle ja k :lle permutaatiot antavat 3 yhtälöä 6 tuntemattomassa. Ei-torsio-oletus vähentää muuttujien lukumäärän kolmeen. Tuloksena olevalla kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\ osittainen _{i}g_{jk}-\osittinen _{k}g_{ij}+\osittainen _{j}g_{ik}\oikea)

Tämä on ensimmäinen Christoffelin identiteetti .

Lisäksi huomautamme sen

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}

jossa käytämme Einsteinin sopimusta , eli parillinen ylempi ja alempi indeksi tarkoittaa, että summaus tapahtuu tämän indeksin kaikkien arvojen yli. Kääntämällä metrisen tensorin saamme toisen Christoffel-identiteetin :

\Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\ osittainen _{j}g_{ik}\right)g^{kl}

Tuloksena oleva yhteys on Levi-Cevita-yhteys.

Koszulin kaava

Vaihtoehtoinen todiste Riemannin geometrian peruslauseesta on osoittaa, että vääntövapaa metrinen yhteys Riemannin monistimessa M saadaan välttämättä Koszul-kaavalla :

{\begin{array}{ll}2g(\nabla _{X}Y,Z)&=\,X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z( g(X,Y))\\&\quad +\,g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end {array}}

jossa vektorikenttä vaikuttaa luonnollisella tavalla tasaisiin funktioihin Riemannin moninaisessa kaavalla . $X$ $Xf=\partial _{X}f$

Oletetaan, että yhteys täyttää symmetriaehdot

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

ja yhteensopivuus mittarin kanssa

Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)

Sitten summaa voidaan yksinkertaistaa, mikä johtaa Koszul-kaavaan. $Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)$

Tässä tapauksessa lauseke määrittelee yksiselitteisesti ja päinvastoin Koszul-kaavaa voidaan käyttää määrittämään , millä tavalla yleensä tarkistetaan, että yhteys on symmetrinen ja yhdenmukainen metriikan g kanssa [1] . $g(\nabla _{X}Y,Z)$ $\nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}$

Muistiinpanot

↑ Carmo, 1992 .

Kirjallisuus

do Carmo, Manfredo (1992), Riemannin geometria , Matematiikka: teoria ja sovellukset, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8