Riemannin geometrian peruslause sanoo, että missä tahansa Riemannin monistossa (tai pseudo-Riemannin monistossa ) on ainutlaatuinen vääntövapaa metriyhteys , jota kutsutaan annetun metriikan Levi-Civita- yhteydeksi . Tässä metrinen (tai Riemannilainen ) yhteys on yhteys, joka säilyttää metrisen tensorin .
Riemannin geometrian peruslause . Olkoon ( M , g ) Riemannin monisto (tai pseudo-Riemannin monisto ). Sitten on ainutlaatuinen affiiniyhteys ∇, joka täyttää seuraavat ehdot:
Ensimmäinen ehto tarkoittaa, että metrinen tensori säilyy rinnakkaissiirrossa , ja toinen ehto ilmaisee, että yhteyden vääntö on nolla.
Peruslauseen yleistys väittää, että pseudo-Riemannin monistossa on ainutlaatuinen yhteys, joka säilyttää metrisen tensorin millä tahansa tietyllä vektoriarvoisella 2-muodolla sen vääntönä.
Seuraava tekninen todiste on kaava yhteyden Christoffel-symboleille paikallisessa koordinaatistossa. Tietylle metrille tämä yhtälöjärjestelmä voi tulla melko monimutkaiseksi. On olemassa nopeampia ja yksinkertaisempia menetelmiä saada Christoffel-symbolit tietylle mittarille, kuten käyttämällä toimintaintegraalia ja siihen liittyviä Euler-Lagrange-yhtälöitä.
Olkoon m jakosarjan M mitta . Joissakin paikalliskartoissa harkitse vakiokoordinaattivektorikenttiä
.Paikallisesti metrisen tensorin elementillä g ij on muoto
.Liitettävyyden asettamiseen riittää, että kaikki i , j ja k määritetään
.Muista, että paikallinen yhteys saadaan m 3 sileällä funktiolla
,missä
.Ei-vääntötila tarkoittaa sitä
.Toisaalta yhteensopivuus Riemannin metriikan kanssa kirjoitetaan muodossa
.Kiinteille i :lle , j :lle ja k :lle permutaatiot antavat 3 yhtälöä 6 tuntemattomassa. Ei-torsio-oletus vähentää muuttujien lukumäärän kolmeen. Tuloksena olevalla kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu
.Tämä on ensimmäinen Christoffelin identiteetti .
Lisäksi huomautamme sen
,jossa käytämme Einsteinin sopimusta , eli parillinen ylempi ja alempi indeksi tarkoittaa, että summaus tapahtuu tämän indeksin kaikkien arvojen yli. Kääntämällä metrisen tensorin saamme toisen Christoffel-identiteetin :
.Tuloksena oleva yhteys on Levi-Cevita-yhteys.
Vaihtoehtoinen todiste Riemannin geometrian peruslauseesta on osoittaa, että vääntövapaa metrinen yhteys Riemannin monistimessa M saadaan välttämättä Koszul-kaavalla :
,jossa vektorikenttä vaikuttaa luonnollisella tavalla tasaisiin funktioihin Riemannin moninaisessa kaavalla .
Oletetaan, että yhteys täyttää symmetriaehdot
ja yhteensopivuus mittarin kanssa
.Sitten summaa voidaan yksinkertaistaa, mikä johtaa Koszul-kaavaan.
Tässä tapauksessa lauseke määrittelee yksiselitteisesti ja päinvastoin Koszul-kaavaa voidaan käyttää määrittämään , millä tavalla yleensä tarkistetaan, että yhteys on symmetrinen ja yhdenmukainen metriikan g kanssa [1] .