Paraboloidi

Paraboloidi on eräänlainen toisen asteen pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa .

Paraboloidi voidaan luonnehtia ei-suljetuksi ei-keskiseksi (eli jolla ei ole symmetriakeskusta ) toisen kertaluvun pinta.

Paraboloidin kanoniset yhtälöt suorakulmaisina koordinaatteina :

z=tx^{2}+uy^{2},

missä ja ovat reaalilukuja , jotka eivät ole yhtä aikaa nolla.

t

u

Jossa:

jos ja on sama merkki, paraboloidia kutsutaan elliptiseksi , elliptisen paraboloidin erikoistapaus tässä tapauksessa pintaa kutsutaan yleensä kierrosparaboloidiksi ; $t$ $u$ $t=u,$
jos ja erimerkkinen, niin paraboloidia kutsutaan hyperboliseksi ; $t$ $u$
jos yksi kertoimista on nolla, niin paraboloidia kutsutaan parabolisylinteriksi .

Paraboloidin poikkileikkaukset mielivaltaisten sijaintien pystysuorilla (akselin suuntaisilla ) tasoilla - paraabelit . $z$

Paraboloidin leikkaukset vaakasuorilla tasoilla, jotka ovat yhdensuuntaisia elliptisen paraboloidin tason kanssa, ovat ellipsejä , kierrosparaboloidille nämä leikkauskohdat ovat ympyröitä, kun tällainen leikkaus on olemassa. $x,\ y$

Hyperbolisen paraboloidin leikkauspisteet ovat hyperboleja .

Tietyissä leikkaustapauksissa leikkaus voi osoittautua suoraksi tai viipapariksi (hyperboliselle paraboloidille tai yhdensuuntaiseksi suoraksi paraboliselle sylinterille) tai rappeutua yhdeksi pisteeksi (elliptinen paraboloidi).

Elliptinen paraboloidi

Elliptinen paraboloidi on pinta, jonka määrittää muodon funktio:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

Elliptistä paraboloidia voidaan kuvata rinnakkaisten paraabelien perheeksi, jossa on ylöspäin suuntautuvat haarat, joiden kärjet kuvaavat paraabelia ja joiden haarat ovat myös ylöspäin (katso kuva).

Jos , niin elliptinen paraboloidi on kierrospinta, joka muodostuu paraabelin pyörimisestä sen symmetria-akselin ympäri. $a=b$

Hyperbolinen paraboloidi

Hyperbolinen paraboloidi (kutsutaan rakenteessa "gipar") - satulan pinta , joka on kuvattu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä muodon yhtälöllä

z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}

tai

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

Myös hyperbolinen paraboloidi voidaan muodostaa siirtämällä paraabelia, jonka oksat on suunnattu alaspäin pitkin paraabelia, jonka haarat ovat ylöspäin (katso kuva).

Hyperbolinen paraboloidi on hallittu pinta .

Joidenkin funktioiden bilineaarisella interpoloinnilla 4 pisteen yli luotu pinta on hyperbolinen paraboloidi.

Mielenkiintoisia faktoja

Tasaisesti pyörivässä astiassa olevan nesteen pinta on kierrosparaboloidi (mikä ei ole suora syy sen nimelle).
Kierrosparaboloidin ominaisuutta käytetään usein keräämään pääakselin suuntaisia säteitä yhteen pisteeseen - fokus - tai päinvastoin, muodostamaan yhdensuuntainen säteilysäde fokusoidusta lähteestä. Tähän periaatteeseen perustuu parabolisten antennien , heijastavien kaukoputkien , joissa on parabolinen peili, kohdevalot , auton ajovalot jne . toiminta. Katso lisätietoja kohdasta heijastin (peili) .

Katso myös

Hyperboloidi on toisenlainen toisen kertaluvun pinta.
Toisen luokan pinnat .
Neliön muotoinen .

Kirjallisuus

Delaunay B. N., Raikov D. A. Analyyttinen geometria, kahdessa osassa. - M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analyyttinen geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Analyyttinen geometria. - M . : Kustantaja MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 s. — ISBN 5-7038-1671-8 .