Matematiikassa permutaatiopolytooppi , jonka kertaluku on n , on ( n − 1)-ulotteinen konveksi polytooppi , joka on upotettu n - ulotteiseen euklidiseen avaruuteen, joka on kaikkien n :n konveksi runko ! pisteet, jotka saadaan permutoimalla vektorin (1, 2, 3, ..., n ) koordinaatit.
Zieglerin, Güntherin [1] mukaan permutaatiopolyhedri esiintyy ensimmäisen kerran Schuten teoksissa vuonna 1911. Itse termi "permutaatiopolyhedroni" (tarkemmin sanottuna sen ranskalainen versio "permutoèdre") esiintyi ensimmäisen kerran Guibudin (G.-T.Guibaud) ja Rosenstahlin, Pierren artikkelissa vuonna 1963. Ehdottaessaan sitä kirjoittajat kirjoittivat, että "permutoèdre" näyttää barbaarilta, mutta on helppo muistaa, ja että he jättävät termin käytön lukijalle.
Läheisesti liittyvä käsite on Birkhoff-polyhedri , joka määritellään permutaatiomatriisien kuperaksi rungoksi . Yleisemmässä tilanteessa Bowman (V.-J.Bowman) käytti vuonna 1972 termiä "permutaatiopolytooppi" ("permutaatiopolytooppi") mille tahansa polytoopille, jonka kärjet ovat yksi-yhteen vastaavuus jonkin joukon permutaatioiden kanssa.
Permutaatiopolytooppi, jonka kertaluku on n , sisältyy kokonaan ( n − 1)-ulotteiseen hypertasoon, joka koostuu kaikista pisteistä, joiden koordinaattien summa on
1 + 2 + ... + n = n ( n + 1)/2.Lisäksi tämä hypertaso voidaan laatoittaa äärettömällä määrällä rinnakkaisia kopioita permutaatiopolyhedristä. Jokainen näistä kopioista eroaa alkuperäisestä permutaatiopolyhedristä jonkin ( n − 1)-ulotteisen hilan alkiolla, jonka muodostavat n -ulotteiset vektorit, joiden kaikki koordinaatit ovat kokonaislukuja, niiden summa on nolla ja kaikki koordinaatit kuuluvat sama jäämäluokka modulo n :
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d 0, x 1 ≡ x 2 ≡ ... ≡ x n (mod n ).Esimerkiksi kuvassa 4. kertaluokkaa oleva permutaatiopolyhedri tesselloi 3-ulotteisen avaruuden rinnakkaisten translaatioiden avulla. Tässä 3-ulotteinen avaruus katsotaan 4-ulotteisen avaruuden R 4 affiiniksi aliavaruudeksi koordinaatteilla x , y , z , w , joka muodostuu neljästä reaaliluvusta, joiden summa on 10, ts.
x + y + z + w = 10.Se on helppo tarkistaa jokaiselle seuraavalle neljälle vektorille
(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) ja (−3,1,1,1),koordinaattien summa on nolla ja kaikki koordinaatit ovat kongruentteja 1 modulo 4:n kanssa. Mitkä tahansa kolme näistä vektoreista muodostavat rinnakkaisten käännösten hilan.
Tällä tavalla 3 ja 4 permutaatiopolyhedreistä rakennetut laatat ovat säännöllisiä kuusikulmiolaattoja ja vastaavasti katkaistuja oktaedrilaattoja .
| Tilaa 2 | Tilaa 3 | Tilaa 4 |
|---|---|---|
| 2 huippua | 6 huippua | 24 huippua |
| Permutaatiopolyhedri, jonka kertaluku on 2, on jana yksikköneliön lävistäjällä . | Kolmannen asteen permutaatiopolyedri on säännöllinen kuusikulmio , joka on 2×2×2 kuution leikkaus . | Permutaatiopolyedri, jonka kertaluku on 4, on katkaistu oktaedri . |
| Tilaa 5 | Tilaa 6 |
|---|---|
| 120 huippua | 720 huippua |
| Permutaatiopolyedri, kertaluokkaa 5. | Permutaatiopolyedri, kertaluokkaa 6. |