Pinta-ala

Pinta - ala on pinnan additiivinen numeerinen ominaisuus.

Määritelmät

Kaikissa pinta-alan määritelmissä kuvataan ensin pintaluokka, jolle se on määritelty. Yksinkertaisin tapa on määrittää monitahoisten pintojen pinta-ala: niiden tasaisten pintojen pinta-alojen summana . Monitahoisten pintojen luokka ei kuitenkaan ole riittävän laaja useimpiin sovelluksiin.

Useimmiten pinta-ala määritellään paloittain sileiden pintojen luokalle, joissa on paloittain sileä reuna. Tämä voidaan tehdä seuraavalla rakenteella: Pinta jaetaan osiin, joissa on paloittain sileät rajat: jokaiselle osalle valitaan taso ja tarkasteltava osa projisoidaan siihen kohtisuorasti; saatujen tasomaisten projektioiden pinta-ala on yhteenveto. Itse pinnan pinta-ala määritellään tällaisten summien tarkaksi ylärajaksi.

Jos pinta euklidisessa avaruudessa annetaan parametrisesti paloittain sileällä funktiolla , jossa parametrit muuttuvat tason alueella , niin pinta-ala voidaan ilmaista kaksoisintegraalilla $C^1$ $r(u,v)$ $u$ $v$ $D$ $(u,v)$ $S$

S=\iint \limits _{D}|r_{u}\times r_{v}|\cdot du\cdot dv,

jossa tarkoittaa vektorituloa, a ja ovat osittaisia johdannaisia suhteessa ja . $\ajat$ $r_{u}$ $r_{v}$ $u$ $v$

Tämä integraali voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det g_{{ij}}}}dudv

missä , , ja myös $g_{{11}}=|r_{u}|^{2}$ $g_{{12}}=\langle r_{u},r_{v}\rangle$ $g_{{22}}=|r_{v}|^{2}$

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det(J_{r}^{\mathrm {T} }\cdot J_{r)))))dudv

jossa tarkoittaa kartoituksen Jacobi-matriisia . $J_{r}$ $(u,v)\mapsto r(u,v)$

Kommentit

Erityisesti, jos pinta on -sileän funktion kaavio tason verkkotunnuksen yli , niin $C^1$ $z=f(x,y)$ $D$ $(x,y)$ $S=\iint \limits _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy$
- Näistä kaavoista johdetaan tunnettuja kaavoja pallon ja sen osien pinta-alalle, perustellaan menetelmiä kierrospinta-alan laskemiseksi jne .
Kaksiulotteisille paloittain sileille pinnoille Riemannin monistimessa tämä kaava toimii alueen määritelmänä, kun taas itse pinnan metrisen tensorin komponentit toimivat , ja . $g_{{11}}$ $g_{12}=g_{21}$ $g_{{22}}$

Yritys esittää käsite kaarevien pintojen pinta-alasta sisäänkirjoitettujen monikulmiopintojen pinta-alojen rajana (kuten käyrän pituus määritellään piirrettyjen monikulmioviivojen rajaksi) kohtaa vaikeuksia. Jopa hyvin yksinkertaisella kaarevalla pinnalla siihen asteittain pienemmillä pinnoilla kirjoitetulla polyhedra-alueella voi olla erilaisia rajoja monitahojen sarjan valinnasta riippuen. Tämän osoittaa selvästi hyvin tunnettu esimerkki, ns. Schwartz-saapas , jossa oikean ympyrän muotoisen sylinterin sivupinnalle muodostetaan sisäänkirjoitettujen monitahojen sekvenssit, joilla on erilaisia pinta-alarajoja.
- Suljetun kuperan pinnan pinta-ala on kuitenkin yhtä suuri kuin siihen merkittyjen kuperoiden monitahoisten pintojen pinta-alojen pienin yläraja.

Ominaisuudet

Upotetun pinnan pinta-ala on sama kuin sen kuvan 2-ulotteinen Hausdorff-mitta .
Upotetun pinnan pinta-ala kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on sama kuin sen kuvan koodiulottuvuuden 1 Minkowskin kapasiteetti .

Katso myös

Kirjallisuus

Dubrovsky V. N. Pinta-alan määrittämisessä Arkistokopio 27. kesäkuuta 2017 Wayback Machinessa // Kvant . - 1978. - Nro 5. - S. 31-34.

Dubrovsky V.N. Pinta-ala Minkowskin arkistokopion mukaan 15. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa // Kvant . - 1979. - Nro 4. - S. 33-35.

Merzon G. A., Yashchenko I. V. Pituus, pinta-ala, tilavuus. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .