Inoue pinta

Inoue-pinta on luokan VII monimutkainen Kodaira-pinta . Pinnat on nimetty Masahita Inouen mukaan, joka antoi ensimmäiset ei-triviaalit esimerkit Kodaira-luokan VII pinnoilta vuonna 1974 [1] .

Inoue-pinnat eivät ole Kähler-jakotukia .

Inoue pinnat, joissa b 2 = 0

Inoue antoi kolme pintaperhettä, S 0 , S + ja S − , jotka ovat kompakteja tekijöitä (kompleksitason ja puolitason tuloja). Nämä Inoue-pinnat ovat ratkaistavissa olevia jakoputkia . Ne saadaan kertoimena yli ratkaistavan diskreetin ryhmän, joka toimii holomorfisesti . ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$

Kaikilla Inouen rakentamilla erotettavilla pinnoilla on toinen Betti-luku . Nämä pinnat ovat luokan VII Kodaira pintoja , mikä tarkoittaa, että niille Kodaira - mitta on yhtä suuri kuin . Kuten Bogomolov [2] , Li - Yau [3] ja Telemann [4] ovat osoittaneet , mikä tahansa luokan VII pinta, jonka b 2 = 0, on Hopf-pinta tai Inoue-tyyppinen liukoinen monisto. $b_{2}=0$ $b_{1}=1$ $-\infty$

Näillä pinnoilla ei ole meromorfisia toimintoja, eikä niillä ole käyriä.

K. Hasegawa [5] antoi luettelon kaikista monimutkaisista kaksiulotteisista ratkaistavissa olevista lajikkeista. Näitä ovat monimutkainen torus , hyperelliptinen pinta , Kodaira pinta ja Inoue pinnat S 0 , S + ja S − .

Inoue-pinnat on rakennettu nimenomaisesti alla kuvatulla tavalla [5] .

Pinnat tyyppiä S 0

Olkoon kokonaisluku 3 × 3 matriisi, jossa on kaksi kompleksista ominaisarvoa ja todellinen ominaisarvo c>1 , ja . Sitten se on käännettävä kokonaislukuina ja määrittää kokonaislukuryhmän toiminnan . Anna . Tämä ryhmä on hila ratkaistavassa Lie-ryhmässä $\phi$ $\alpha ,{\bar {\alpha ))$ $|\alpha |^{2}c=1$ $\phi$ ${\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3))$ $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

toimii , kun taas ryhmä toimii -osassa siirroilla ja -osalla nimellä . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$

Laajennamme tämän toiminnon asettamalla , jossa t on ryhmän -osaparametri . Toiminta on triviaali tekijä . Tämä toiminta on ilmeisen holomorfinen ja tekijää kutsutaan tyypin S 0 Inoue-pinnaksi . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $v\mapsto e^{\log ct}v$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0))$ ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$

Inoue-pinta S 0 määritellään kokonaislukumatriisin valinnalla yllä olevin rajoituksin. Tällaisia pintoja on lukematon määrä. $\phi$

Pinnat tyyppiä S +

Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja ylempien kolmiomatriisien ryhmä $\Lambda _{n}$

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix)),

missä x, y, z ovat kokonaislukuja. Tarkastellaan automorfismia , jota merkitsemme . Ryhmän kerroin sen keskustassa C on . Oletetaan, että se toimii matriisina, jossa on kaksi positiivista todellista ominaisarvoa a, b ja ab = 1. $\Lambda _{n}$ $\phi$ $\Lambda _{n}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2))$ $\phi$ $\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$

Harkitse ratkaistavissa olevaa ryhmää , joka toimii kuten . Tunnistamalla ylempien kolmiomatriisien ryhmän kanssa , saamme toiminnon . Määrittelemme toiminnon toimimalla triviaalisti -osassa ja toimii nimellä . Samat argumentit kuin Inoue-tyyppisille pinnoille osoittavat, että tämä toiminta on holomorfista. Tekijää kutsutaan Inoue-tyyppiseksi pinnaksi . $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }$ ${\mathbb {Z} }$ $\Lambda _{n}$ $\phi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $\Lambda _{n}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0))$ ${\mathbb {Z} }$ $v\mapsto e^{t\log b}v$ $S^{0}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n))$ $S^{+}$

Pinnat tyyppiä S −

Tyyppipinnat $S^{-}$ määritellään samalla tavalla kuin S + , mutta automorfismin kahdella ominaisarvolla a, b on vastakkaiset merkit ja yhtälö ab = −1 pätee. Koska tällaisen endomorfismin neliö määrittää tyypin S + Inoue-pinnan, tyypin S − Inoue-pinnalla on haarautumaton kaksoiskansi tyyppiä S + . $\phi$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2))$

Paraboliset ja hyperboliset Inoue-pinnat

Paraboliset ja hyperboliset Inoue-pinnat ovat luokan VII Kodaira-pintoja, jotka Iku Nakamura määritteli vuonna 1984 [6] . Ne eivät ole ratkaistavissa olevia lajikkeita. Näillä pinnoilla on positiivinen toinen Betti-luku. Pinnoilla on pallomaiset kuoret ja ne voivat muuttua Hopf-pinnan puhallukseksi .

Paraboliset Inoue-pinnat sisältävät rationaalisten käyrien syklin, jossa on 0 itseleikkauskohtaa, ja elliptisen käyrän. Ne ovat erikoistapaus Enoki-pinnoista, joissa on rationaalisten käyrien sykli, jossa ei ole itseleikkauksia, mutta ei elliptistä käyrää. Inouen puolipinta sisältää rationaalisten käyrien syklin C ja se on hyperbolisen Inoue-pinnan kerroin, jossa on kaksi rationaalisten käyrien sykliä.

Hyperboliset Inoue-pinnat ovat luokan VII 0 pintoja, joissa on kaksi rationaalisen käyrän sykliä [7] .

Muistiinpanot

↑ Inoue, 1974 , s. 269-310.
↑ Bogomolov, 1976 , s. 273-288.
↑ Li, Yau, 1987 , s. 560-573.
↑ Teleman, 1994 , s. 253-264.
↑ 12 Hasegawa , 2005 , s. 749-767.
↑ Nakamura, 1984 , s. 393-443.
↑ Nakamura, 2008 .

Kirjallisuus

Keizo Hasegawa. Kompleksiset ja Kahler-rakenteet Compact Solvmanifoldsissa // J. Symplectic Geom.. - 2005. - Vol. 3 , no. 4 . - S. 749-767 .
Bogomolov, F.A., Luokan VII 0 pintojen luokitus, jossa b 2 = 0 , Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. - 1976. - T. 40 , no. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills -liitokset ei-Kahler-jakoputkissa // Math. merkkijonoteorian näkökohtia (San Diego, Kalifornia, 1986). — Adv. Ser. Matematiikka. Phys.. - World Scientific Publishing, 1987. - Vol. 1.
Nakamura I. Luokan VII 0 pinnoilla käyräillä // Inventiones math.. - 1984. - T. 78 .
Inoue M. Luokan VII pinnoilla 0 // Inventiones math.. - 1974. - T. 24 .
Teleman A. Projektiivisesti tasaiset pinnat ja Bogomolovin lause luokan VII 0 -pinnoilla // Int. J. Math .. - 1994. - V. 5 , no. 2 .
Nakamura I. Tutkimus VII 0 -pinnoilla // NonKaehler-geometrian viimeaikainen kehitys . – Sapporo, 2008.