Appel-sekvenssi

Appel -sekvenssi on polynomien sarja , joka täyttää identiteetin: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots ))$

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

missä on nollasta poikkeava vakio. $p_{0}(x)$

Nimetty Paul Emil Appelin mukaan . Tunnetuimpia Appel-sekvenssejä ovat triviaalisen esimerkin lisäksi Hermite-polynomit , Bernoulli-polynomit ja Euler-polynomit . Jokainen Appel -sekvenssi on Schaeffer-sekvenssi , mutta yleensä Schaeffer-sekvenssit eivät ole Appel-sekvenssejä. Appel-sekvensseillä on todennäköisyyspohjainen tulkinta momenttijärjestelmiksi . $\{x^{n}\}$

Vastaavat määritelmät

Seuraavat polynomisekvenssien ehdot vastaavat Appell-sekvenssin määritelmää:

jollekin skalaarisarjalle : ${\displaystyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty ))$ $c_{0}\neq 0$ $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk}$ ;
samalle skalaarisarjalle: $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}$ , missä ; $D={\frac {d}{dx))$
kohteelle : $n=0,1,2,\ldots$ $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}$ .

Rekursiivinen tehtävä

Jos:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\oikea)x^{n} =Sx^{n}

jossa viimeinen yhtälö määrittelee lineaarisen operaattorin polynomien avaruudessa , ja: $S$ $x$

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\oikea) ^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

on käänteisoperaattori, jossa kertoimet ovat käänteisen muodollisen potenssisarjan kertoimia , joten: $a_{k}$

Tp_{n}(x)=x^{n}\,

(varjolaskennan terminologiassa käytetään usein muodollista potenssisarjaa itse Appel-sekvenssin sijaan ), niin meillä on: $T$ $p_n$

\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

käyttäen tavanomaista sarjalaajennusta logaritmiin ja tavallista muodollisten sarjojen koostumuksen määritelmää. Mistä se tulee: $\ln(x)$

p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)

(Tämä sarjan muodollinen differentiaatio differentiaalioperaattorin suhteen on esimerkki Pinkerlen derivaatta ). $D$

Hermite-polynomien tapauksessa tämä pelkistyy tämän sekvenssin tavalliseen rekursiiviseen kaavaan.

Schaeffer-polynomien alaryhmä

Kaikkien Schaeffer-sekvenssien joukko on suljettu polynomisekvenssien varjokoostumuksen alle, joka määritellään seuraavasti. Olkoon ja polynomisekvenssit, jotka on määritelty seuraavasti: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \))$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \))$

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ ja }}q_{n}(x)=\ summa _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}

Tällöin varjon koostumus on polynomien sarja, jonka th termillä on muoto: $p\circ q$ $n$

{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leqslant \ ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell ))

(alaindeksi näkyy luvussa , koska se on tämän sekvenssin th jäsen, mutta ei :ssä , koska tässä se viittaa koko sekvenssiin, ei yhteen sen jäseniin). $n$ $p_n$ $n$ $q$ $q$

Tällaisessa operaatiossa kaikkien Schaeffer-sekvenssien joukko on ei-Abelin ryhmä , mutta kaikkien Appel-sekvenssien joukko on Abelin aliryhmä . Sen Abelin ominaisuus johtuu siitä tosiasiasta, että jokaisella Appel-sekvenssillä on muoto:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}

ja että Appel-sekvenssien varjotulo vastaa näiden muodollisten potenssisarjojen kertolaskua operaattorimuuttujalla . $D$

Kirjallisuus

Appell, Paul (1880). "Sur une classe de polynomes" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2e sarja. 9 :119-144.
Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "Umbral Calculus". Matematiikan edistysaskeleita . 27 (2): 95-188. DOI : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). Finite Operator Calculus. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 685-760. DOI : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Uudelleenpainettu kirjassa samalla nimellä, Academic Press, New York, 1975.
Steve Roman. Umbral Calculus. — Dover Publications .
Theodore Seio Chihara. Johdatus ortogonaalisiin polynomeihin. - Gordon and Breach, New York, 1978. - ISBN 978-0-677-04150-6 .

Linkit

Appell-sekvenssit - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . Yu.A. Kazmin
Appell Sequence MathWorldissä