Mahdollinen ponnahduslauta

Potentiaaliaskel on hiukkasen potentiaalienergian profiili , jolle on ominaista jyrkkä siirtyminen yhdestä (mukavuussyistä nollaksi) arvosta toiseen ( ). Tällaisia profiileja analysoidaan kvanttimekaniikassa ja kokonaisenergian omaavan hiukkasen läpäisykerroin osoittautuu erilaiseksi kuin yksikkö . $U$ $V_{0}$ ${\displaystyle E>V_{0))$

Yksinkertaisin tämän tyyppinen potentiaaliprofiili on hyppy:

U(x)=0

klo ja klo .

x<0\quad

\quad U(x)=V_{0}

x>0

Ilmaisua käytetään siirtymän hämärtymisen huomioon ottamiseksi

U(x)={\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right),\,a= {\mbox{const}}>0

simuloi monotonista kasvua 0: sta arvoon . $-\infty$ $V_{0}$ $+\infty$

Potentiaaliaskel voidaan muodostaa esimerkiksi puolijohdeheterorakenteen johtavuuskaistan pohjan energian koordinaattiriippuvuudella, kun kahden materiaalin elektroniaffiniteetin erosta johtuen niiden risteyksessä tapahtuu melko jyrkkä hyppy. . $U(x)=E_{c}(x)$ $E_{c}$

Hyppyaskelmalli

Kiinteällä Schrödingerin yhtälöllä hyppypotentiaaliaskeleen muoto on:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+V_{0}\Psi (x)=E\Psi (x)

varten ,

x>0

ja sama ilman termiä for . Tässä on hiukkasen massa, on pelkistetty Planck-vakio ja on hiukkasen aaltofunktio . Oletetaan, että hiukkanen liikkuu kohti positiivista . Lisäksi kaikki merkit numerolla 1 viittaavat alueeseen ja numerolla 2 - kohtaan . $V_{0}$ $x<0$ $m$ $\hbar$ $\psi$ $x$ $x<0$ $x>0$

Olettaen , että kirjoitamme aaltofunktion alueille 1 ( ) ja 2 ( ) ${\displaystyle E>V_{0))$ $\Psi =\psi _{1}$ $\Psi =\psi _{2}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)

missä

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V_{0} )}{\hbar ^{2}}}}}

Aaltofunktion ja sen derivaatan jatkuvuuden vaatimuksesta pisteessä saadaan $x=0$

{\näyttötyyli 1+r=t}

{\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2))

mikä antaa

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Tämän seurauksena meillä on heijastuskertoimet ( esteen yli heijastus ) ja läpäisykertoimet:

R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V_{0}/E))}{1+{\sqrt {1-V_{0} /E))))\oikea)^{2},\qquad T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V_{0}/E}}}{\vasen(1+{\sqrt {1-V_{0}/E}}\oikea)^{2}}}

Tämä tulos eroaa olennaisesti klassisesta : klassisessa mekaniikassa ei ole tässä tapauksessa heijastusta, mutta riippumatta . $T=1$ $E$

Epäselvä askelmalli

Pysyvän potentiaalin askeleen kiinteä Schrödinger-yhtälö (sumennetusaste asetetaan parametrilla : mitä pienempi se on, sitä lähempänä hyppäävää potentiaalia) kirjoitetaan: $a$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}V_{0}\left(1+\mathrm {th } {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)

Jos merkitsemme ja , se saa muodon ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mV_{0}a^{2}/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} { \frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).

Jos muutamme muuttujaa

y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a)))),

sitten, ottaen huomioon merkintä , pelkistetään muotoon: $\varkappa =ka$

y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y) }}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.

Koska tämän yhtälön pisteet ja ovat yksittäisiä pisteitä, on luonnollista etsiä ratkaisua muodossa: $y=0$ $y=1$

\Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).

Jos valitsemme ja , yhtälö pelkistyy Gaussin hypergeometriseen yhtälöön: ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2))))$ $\mu =i\varkappa$

y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.

Valitsemalla ratkaisut oikealla asymptotiikalla saamme

f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)

Sitten saat heijastus- ja lähetyskertoimet. Tapauksessa : ${\näyttötyyli E<V_{0))$

R=1,\qquad T=0.

Näin ollen havaitaan kokonaisheijastus. Jos nimitys otetaan huomioon : ${\displaystyle E>V_{0))$ $\sigma =i\nu$

R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )))\oikea)^{2 }

Rajassa $a\nuoli oikealle 0$

R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}

joka on sama kuin edellisen osan tulos, jos palaamme alkuperäisiin muuttujiin.

Kirjallisuus

Z. Flügge. Ongelmia kvanttimekaniikassa. - Kustantaja LKI, 2008. - T. 1.

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi