Esteen ylittävä heijastus

Esteen yliheijastus on kvanttimekaniikassa käytetty termi kuvaamaan klassisessa fysiikassa mahdotonta ilmiötä, jossa liikkuva hiukkanen heijastuu potentiaaliesteestä ja jonka maksimikorkeus on pienempi kuin hiukkasen kokonaisenergia . Heijastuskerroin määräytyy esteen muodon (yksiulotteisessa tapauksessa ) ja myös hiukkasen energian ja massan perusteella. Tässä tapauksessa lähetyskerroin on pienempi kuin yksikkö. Samanlainen vaikutus ilmenee, kun hiukkanen kulkee potentiaalisen askeleen tai kvanttikuivon yli . ${\displaystyle U_{max))$ $E$ $U(x)$

Harkinnan lähestymistapa

Potentiaaliprofiilista riippumatta hiukkasen liikettä tarkastellaan käyttämällä stationaarista Schrödingerin yhtälöä . Oletetaan, että hiukkanen liikkuu vasemmalta oikealle (akselia pitkin ), potentiaali suurella etäisyydellä esteen vasemmalla puolella on nolla ja oikealla (mahdollisesti myös nolla). Tässä tapauksessa esteen vasemmalla ja oikealla puolella olevat aaltofunktiot ovat tasoaaltoja muotoa: $U(x)$ $x$ $V_{0}$ $V_{0}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,

(äärivasemmalla)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,

(äärioikeisto).

k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2))))

ja ovat aaltovektorien moduulit.

k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2))))

Massa voi yleisesti ottaen vaihdella alueittain, minkä vuoksi sen symboli on varustettu lisäindeksillä; on Planckin vakio. $m$ $\hbar$

Jos profiili sisältää teräviä hyppyjä, niin aaltofunktion ja todennäköisyysvirtojen "ompelemisen" ehdon tulee täyttyä kaikilla rajoilla ; jälkimmäinen edellyttää määrän jatkuvuuden varmistamista . $U(x)$ $\psi$ $\psi ^{'}/m$

Schrödingerin yhtälön ratkaisuprosessissa määritetään tuntemattomat vakiot ja , joiden avulla heijastus- ja lähetyskertoimet löydetään edelleen: $r$ $t$

R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}

Tämän harkinnan tulokset useiden järjestelmien osalta on esitetty alla.

Esimerkkejä

Potentiaalinen energiahyppy

Ongelmalla hiukkasen siirtymisestä sen massaa muuttamatta alueelle, jolla on erilainen potentiaalienergia, on seuraava ratkaisu: $V_{0}=V$

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Heijastus- ja läpäisykertoimet ovat

R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\oikea)^{2}, \quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}

Heijastuskertoimella on äärellinen arvo, mutta kun se lähestyy ääretöntä, se pyrkii nollaan. $E$

Suorakulmainen potentiaalisulku

Suorakaiteen muotoisen esteen tapauksessa potentiaali molemmilla puolilla on nolla (ja ). Vastaavuusehdot vaikuttavat kahdella rajalla: osoitteessa ja . Aaltovektorit vasemmalta oikealle ja esteessä ovat $V_{0}=0$ $x=0$ ${\näyttötyyli x=a}$

k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(EV )}{\hbar ^{2}}}}}

Heijastus- ja läpäisykertoimien tulos:

R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2)) {4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin ^{2}{k_{b}a}}}

Sillä , heijastuskerroin on yleensä nollasta poikkeava. Mutta tietyillä energioilla se johtuu sinin nollautumisesta. $E>V$ $E$ $R = 0$

Tehollisen massan muutos

Tässä tapauksessa kertoimet ja lasketaan kaavoilla: $r$ $t$

r={\frac {{\sqrt {m_{1))}-{\sqrt {m_{2))))({\sqrt {m_{1))}+{\sqrt {m_{2 }}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}

Vastaavasti heijastus- ja lähetyskertoimet ovat

R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt { m_{2))))}\oikea)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2)))){\left({\sqrt {m_{ 1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\oikea)^{2}}}

Jos teholliset massat ovat yhtä suuret, heijastusta ei ole.

Ääretön kvanttikuivo

Deltan muotoinen kvanttikuivo on muotoa , jossa . $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda ={\mbox{const}}<0$

Huomaa: potentiaalin -funktionaalisten piirteiden esiintyessä virran jatkuvuuden vaatimuksesta johtuvat johdannaisten yhteensovitusehdot muuttuvat jonkin verran, katso tarkemmin . $\delta$

Tällaisen kaivon heijastus- ja läpäisykertoimet ovat

R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))},\qquad T =|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

Osoittautuu, että hiukkasen heijastus on mahdollista, kun se liikkuu kaivon yläpuolella millä tahansa energialla , vaikka energian kasvaessa heijastuksen todennäköisyys pienenee. $E$

Käytännön merkitys

Kaikenlaisia edellä esitettyjä rakenteita kohdataan tai voidaan luoda käytännössä. Puolijohdeheterorakenteiden tekniikassa on mahdollista saada monikerroksisia järjestelmiä eri materiaaleista. Koska mahdollisuudet vaihteleviin materiaaliyhdistelmiin ovat varsin laajat, on varsin realistista saada halutut estekorkeudet (eV murto- osista useisiin eV) ja teholliset massaarvot . Näin ollen johtavuuskaistan profiililla on potentiaalisen profiilin rooli . $U(x)$ $E_{c}(x)$

Kirjallisuus

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. - M .: Nauka , 1989 . — 768 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Flygge Z. Kvanttimekaniikan ongelmat. - Kustantaja LKI, 2008. - T. 1.