Deltapotentiaali kvanttimekaniikassa

Deltapotentiaali kvanttimekaniikassa on yleinen nimi hiukkasen potentiaalienergiaprofiileille , jotka saadaan lausekkeilla Dirac-deltafunktiolla . Tällaiset profiilit mallintavat fyysistä tilannetta, kun potentiaalilla on hyvin kapeat ja terävät maksimit tai minimit.

Yksinkertaisia esimerkkejä tällaisista profiileista ovat delta - muotoinen tunnelin este ja delta - muotoinen kvanttikuivo . Herää kysymys hiukkasen läpäisykertoimesta sekä sidottujen tilojen olemassaolosta ja energioista. $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ $\lambda$ $\cdot$ $\cdot$ $x$ $m$

Useimmissa tapauksissa, kun tarkastellaan hiukkasen käyttäytymistä, etsitään ratkaisua yksiulotteiseen stationaariseen Schrödingerin yhtälöön , jolla on vastaava potentiaali. Yleensä oletetaan, että hiukkanen liikkuu vain suunnassa , eikä liikettä ole kohtisuorassa tasossa . $x$ $yz$

Lähestymistapa Schrödingerin yhtälön ratkaisemiseen

Stacionaarisella yksiulotteisella Schrödingerin yhtälöllä aaltofunktiolle on muoto $\psi(x)$

{\hat {H}}\psi (x)=\vasen[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+U(x)\oikea]\psi (x)=E\psi (x)

missä on Hamiltonin , on Planckin vakio , on hiukkasen kokonaisenergia ja . Kun tämä yhtälö on integroitu kapealla lähellä nollaa olevaa osaa ${\hattu {H}}$ $\hbar$ $E$ $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }U(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0

menestyä

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\ frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0

Suuret kuvakkeet ja osoittavat alueita esteen tai kuopan vasemmalla ja oikealla puolella ( englanniksi vasen, oikea ). Pisteessä aaltofunktion jatkuvuuden ehdon tulee täyttyä ${\näyttötyyli _{L}}$ ${\näyttötyyli _{R}}$ $x=0$

\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)

ja jatkuvuusehto todennäköisyysvuon tiheydelle

{\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0)

Nämä kaksi ehtoa ovat merkityksellisiä riippumatta siitä, puhummeko delta-muotoisesta esteestä vai kaivosta, ja myös (kaivolle) siitä, onko energiaarvo suurempi vai pienempi kuin nolla (esteen osalta vaihtoehto on mahdoton). $E$ $E<0$

Lähetys- ja heijastuskertoimet

Tässä osiossa oletetaan, että , ja tarkastellaan hiukkasen kulkua esteen tai kaivon läpi. $E>0$

Este tai kuoppa jakaa tilan kahteen osaan ( ). Molemmilla näillä alueilla ratkaisu Schrödingerin yhtälöön on tasoaaltoja , ja se voidaan kirjoittaa niiden superpositioksi : $x<0,\,\,x>0$

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

missä on aaltovektori . Pienet indeksit ja kertoimilla ja osoittavat aaltovektorin suunnan oikealle ja vasemmalle. Näiden kertoimien välinen suhde löytyy edellisen osan lopusta kirjoitetuista ehdoista : $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $r$ $l$ $A$ $B$ $\psi$ $\psi'$ $x=0$

{\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l))

ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2))}\left(B_{r }+B_{l}\oikea)

Olkoon tuleva hiukkanen lähestymässä estettä vasemmalta ( ja ), jolloin kertoimet ja , jotka määrittävät heijastuksen ja läpikulkutodennäköisyyden, ovat muotoa: $A_{r}=1$ $B_{l}=0$ $A_{l}=r$ $B_{r}=t$

t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1)),\qquad r={\frac {1}{{\frac { i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}

Klassisessa tapauksessa hiukkanen, jolla on äärellinen energia, ei voi ylittää ääretöntä potentiaaliestetta, ja se kulkee taatusti kaivon yli. Kvanttilähestymistavan kanssa tilanne on toinen: läpäisy- ja heijastuskertoimet ovat $E>0$

T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2)){\hbar ^{4}k^{2))))}= {\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

{\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}} ))}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2)))))))

Klassisesta näkökulmasta katsottuna on kolme odottamatonta tulosta kerralla. Ensinnäkin äärettömän korkealla esteellä on nollasta poikkeava todennäköisyys (lähetyskerroin ) . Toiseksi, koska kaava on täysin sovellettavissa negatiiviselle , ylikuorman läpikulkua todennäköisyys eroaa yhtenäisyydestä. Kolmanneksi, arvo ei muutu, kun etumerkkiä muutetaan , eli todennäköisyydet hiukkasen tunneloimiseksi energialla esteen läpi ja kaivon yläpuolella olevan kaivon läpi ovat samat. $\lambda$ $T$ $\lambda$ $E$

Diskreetti tila delta-muotoisessa kaivossa

Tässä osiossa oletetaan, että , ja vain kaivo ( ) otetaan huomioon, eli siinä olevan hiukkasen diskreetin tilan energia määritetään. $E<0$ $\lambda <0$

Molemmilla alueilla Schrödingerin yhtälön ratkaisu, kuten edellä, voidaan kirjoittaa eksponentiaalien summana

\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0

missä . Mutta nyt se on kuvitteellinen arvo, ja siksi tietueeseen tulee jättää vain ne eksponentit, jotka vaimenevat, eivät kasva, plus- ja miinus äärettömyydellä: $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ $k$

\psi _{L}(x)=A_{l}e^{-ikx}=A_{l}e^{|k|x},\quad x<0

\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}=B_{r}e^{-|k|x},\quad x>0

Seuraavista ehdoista ja , ottaen huomioon jo tämä vaatimus, . Täältä $\psi$ $\psi'$ $x=0$ ${\displaystyle A_{l}=B_{r))$ ${\displaystyle |k|=-\lambda /\hbar ^{2))$

E_{level}=-{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}

eli delta-muotoisessa kaivossa on täsmälleen yksi taso kirjoitetun energian kanssa.

Delta-mallin käytännön merkitys

Deltapotentiaalin läpi tapahtuva tunnelointitilanne on tunneloinnin rajoittava tapaus leveyden ja korkeuden suorakaiteen muotoisen esteen läpi , jossa taipumus nollaan ja k :iin tapahtuu siten, että tulo on vakio ja yhtä suuri kuin jokin vakio . $a$ $V$ $a$ $V$ $+\infty$ $V\cdot a$ $g=\lambda /m$

Deltamäisen esteen läpi kulkemisen ongelma on standardimalliongelma kvanttimekaniikassa. Se syntyy esimerkiksi kuvattaessa virran siirtoa kahden johtavan alueen välillä, joiden liitoskohtaan muodostuu spontaanisti ohut oksidikalvo. Jos kalvon paksuus ja sen kemiallinen koostumus tunnetaan suunnilleen, voidaan käyttää suorakaiteen tai puolisuunnikkaan muotoista estemallia. Joissakin tapauksissa ainoa tie ulos on kuitenkin käyttää deltapotentiaalimallia.

Samoin delta-kaivon ongelman kanssa: mallia voidaan käyttää karkeana approksimaationa. Arvo toimii sovitusparametrina sekä esteelle että kaivolle. $\lambda$

Kirjallisuus

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. - M .: Nauka , 1989 . — 768 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi