Ricci virtaa

Ricci-virtaus on osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä , joka kuvaa Riemannin metriikan muodonmuutosta jakosarjassa .

Tämä järjestelmä on lämpöyhtälön epälineaarinen analogi .

Nimetty analogisesti Ricci-kaarevuuden kanssa italialaisen matemaatikon Ricci-Curbastro kunniaksi .

Yhtälö

Ricci-virtausyhtälöllä on muoto:

\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.

jossa tarkoittaa yhden parametrin Riemanni-metriikan perhettä täydellisessä monistossa (riippuen todellisesta parametrista ), ja on sen Ricci-tensori . ${\displaystyle g_{t))$ $t$ ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t))$

Ominaisuudet

Muodollisesti ottaen Ricci-virran antama yhtälöjärjestelmä ei ole parabolinen yhtälö . On kuitenkin olemassa Deturkin ehdottama parabolinen yhtälöjärjestelmä , niin että jos Riemannin metriikka kompaktissa monistossa ja , ovat järjestelmien ratkaisuja ja , niin se on isometrinen kaikille . $R$ $R'$ $g_{0}$ $M$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\displaystyle g'_{t))$ $R$ $R'$ ${\näyttötyyli (M,\;g_{t})}$ ${\näyttötyyli (M,\;g_{t}')}$ $t$
- Tämä rakenne yksinkertaisti merkittävästi todistetta ratkaisun olemassaolosta, sitä kutsutaan "Deturkin temppuksi".
Samoin kuin lämpöyhtälössä (ja muissa parabolisissa yhtälöissä ), asettamalla mielivaltaiset alkuehdot kohtaan , voidaan saada ratkaisuja vain yhteen suuntaan , nimittäin . $t = 0$ $t$ $t\geqslant 0$
Toisin kuin lämpöyhtälön ratkaisuissa, Ricci-virtaus ei pääsääntöisesti jatku loputtomiin pisteessä . Ratkaisu jatkuu maksimivälille . Jos tietysti lähestyessä monisarjan kaarevuus menee äärettömyyteen, ja ratkaisuun muodostuu singulaarisuus . Todiste Thurstonin olettamukselle perustui singulariteettien tutkimukseen, jota vastaan Ricci lepää. $t\to \infty$ $[0,\;T)$ $T$ $T$
Pseudolokaliteetti - jos jokin pisteen lähistö näyttää alkuhetkellä melkein euklidisen avaruuden palalta, niin tämä ominaisuus pysyy tietyn ajan Ricci-virtauksessa pienemmässä naapurustossa.

Geometristen ominaisuuksien muuttaminen

Mittarin tilavuudelle suhde on tosi ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t))$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$
Metriikan skalaarikaarevuuden osalta relaatio ${\displaystyle \mathrm {R} _{t))$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))\mathrm {R} _{t}=\kolmio _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{ t}|^{2}$

jossa määritellään ortonormaalille kehykselle pisteessä.

{\displaystyle |\mathrm {Rc} _{t}|^{2))

{\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j))^{2))

\{e_{i}\}

Erityisesti maksimiperiaatteen mukaan Ricci-virtaus säilyttää skalaarikaarevuuden positiivisuuden.
Lisäksi skalaarikaarevuuden infimum ei vähene.

Jokaiselle -ortonormaalille kehykselle jossakin pisteessä on ns. oheinen -ortonormaali kehys . Tällä perusteella kirjoitetulla kaarevuustensorilla relaatio on tosi $g_{0}$ $\{e^{i}\}$ $x\in M$ ${\displaystyle g_{t))$ ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\))$ ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t))$ ${\tfrac {\partial }{\partial t))\mathrm {Rm} _{t}=\kolmio _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _ {t},\mathrm {Rm} _{t}),$

jossa on määrätty bilineaarinen neliömuoto kaarevuustensorien avaruudessa ja niissä olevilla arvoilla.

K

Bilineaarinen neliömuoto määrittää vektorikentän kaarevuustensorien vektoriavaruudessa – jokaiselle kaarevuustensorille on määritetty erilainen kaarevuustensori . ODE ratkaisuja $K$ $x$ $v_{x}=Q(x,x)$

{\piste {x}}=v_{x}

on tärkeä rooli Ricci-virtausteoriassa.

Kupera joukkoa kaarevuustensorien avaruudessa, jotka ovat invariantteja kierrosten aikana ja sellaisia, että jos pelkistetyssä ODE :ssä , niin for , kutsutaan invariantiksi Ricci-virtaukselle. Jos Riemannin metriikan kaarevuus suljetussa monistossa kussakin pisteessä kuuluu sellaiseen , niin se pätee myös siitä Ricci-virtauksella saadulle metriikolle. Tällaista päättelyä kutsutaan Ricci-virran "maksimiperiaatteeksi". $K$ $x(0)\in K$ $x(t)\in K$ $t\geq 0$ $K$

Invarianttijoukot ovat

Kaarevuustensorit, joilla on positiivinen skalaarikaarevuus
Kaarevuustensorit positiivisella kaarevuusoperaattorilla
Kolmiulotteisessa tapauksessa kaarevuustensorit positiivisella Ricci -kaarevalla

Dimension 3

Siinä tapauksessa, että tilan mitta on yhtä suuri kuin 3, jokaiselle voidaan valita kehys , jossa diagonalisoituu kannassa , , sanotaan, $x$ $t$ ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\))$ ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t))$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2))$ ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3))$ ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1))$

\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix)).

Sitten

Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.

Historia

Ricci-virtaustutkimuksen aloitti Hamilton 1980-luvun alussa. Useita sileän pallon lauseita on todistettu käyttämällä Ricci-virtoja .

Käyttämällä Ricci-virtauksia artikkeleissaan [1] , jotka julkaistiin vuosina 2002–2003 , Perelman onnistui todistamaan Thurston-oletuksen ja siten suorittamaan täydellisen luokituksen kompakteista kolmiulotteisista monimutkaisista ja todistamaan Poincarén oletuksen . [2]

Muistiinpanot

↑ Katso Grigory Perelmanin artikkelit bibliografiassa.
↑ http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Arkistoitu 21. tammikuuta 2021 Wayback Machinessa "Tämän arvelun muotoili Henri Poincaré [58] vuonna 1904, ja se on pysynyt avoimena Perelmanin äskettäiseen työhön asti. … Perelmanin argumentit perustuvat perustalle, jonka Richard Hamilton rakensi tutkiessaan Ricci-virtausyhtälöä Riemannin mittareita varten.

Kirjallisuus

Hamilton, RS Kolme jakotukia, joissa on positiivinen Ricci-kaarevuus // J. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.
Hamilton, RS Neljä jakotukia, joissa on positiivinen kaarevuus // J. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.
Perelman, Grisha (11. marraskuuta 2002), Ricci-virran entropiakaava ja sen geometriset sovellukset, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG].
Perelman, Grisha (10. maaliskuuta 2003), Ricci-virtaus leikkauksella kolmella jakoputkilla, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG].
Perelman, Grisha (17. heinäkuuta 2003), Ricci-virtauksen ratkaisujen rajallinen ekstinktioaika tietyillä kolmijakoputkilla, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG].
Bruce Kleiner, John Lott: Huomautuksia ja kommentteja Perelmanin Ricci-virtauspapereista (PDF; 1,5 MB), 2008.
J. Rubinstein, R. Sinclair: Ricci Flow:n visualisointi vallankumouksen monissa (PDF; 2,7 MB), 2004.
Chow, Bennett, Peng Lu ja Lei Ni. Hamiltonin Ricci-virtaus. - American Mathematical Soc., 2006.