Riemannin monistojen kaarevuus

Riemannin monistojen kaarevuus kuvaa numeerisesti moniston Riemannin metriikan ja euklidisen metriikan välistä eroa tietyssä pisteessä.

Pinnan tapauksessa kaarevuus pisteessä kuvataan täysin Gaussin kaarevalla .

Mitoissa 3 ja sitä suuremmissa kaarevuutta ei voida täysin luonnehtia yhdellä numerolla tietyssä pisteessä, vaan se määritellään tensoriksi .

Tapoja ilmaista kaarevuus

Kaarevuustensori

Riemannin moniston kaarevuutta voidaan kuvata eri tavoin. Tavallisin on kaarevuustensori, joka on annettu Levi-Civita-yhteydellä (tai kovarianttidifferentiaatiolla ) ja Lie-sulkeella seuraavalla kaavalla: $\nabla$ $[\cdot ,\cdot]$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,\; v]}w.

Kaarevuustensori on jakosarjan tangenttiavaruuden lineaarinen muunnos valitussa pisteessä. $R(u,\;v)$

Jos ja , eli ne ovat koordinaattivektoreita, niin , ja siksi kaava on yksinkertaistettu: $u=\osittainen /\osittainen x_{i}$ $v=\osittainen /\osittainen x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

eli kaarevuustensori mittaa kovarianttiderivaataiden ei-kommutatiivisuutta vektoreihin nähden.

Lineaarista muunnosta kutsutaan myös kaarevuusmuunnokseksi . $w\mapsto R(u,\;v)w$

HUOM. On useita kirjoja, joissa kaarevuustensori on määritelty vastakkaisella merkillä.

Symmetriat ja identiteetit

Kaarevuustensorilla on seuraavat symmetriat:

R(u,\;v) = -R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Viimeisen identiteetin löysi Ricci , mutta sitä kutsutaan usein ensimmäiseksi Bianchi-identiteetiksi , koska se on samanlainen kuin alla kuvattu Bianchi -identiteetti .

Nämä kolme identiteettiä muodostavat täydellisen listan kaarevuustensorin symmetrioista, eli jos jokin tensori täyttää nämä identiteetit, voidaan jossain vaiheessa löytää Riemannin monisto, jolla on tällainen kaarevuustensor. Yksinkertaiset laskelmat osoittavat, että tällaisella tensorilla on itsenäisiä komponentteja. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Toinen hyödyllinen identiteetti seuraa näistä kolmesta:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Bianchi-identiteetti (kutsutaan usein toiseksi Bianchi-identiteetiksi ) sisältää kovarianttijohdannaisia:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Yhdessä perussymmetrioiden kanssa tämä identiteetti antaa täydellisen luettelon tensorisymmetrioista . Lisäksi, jos tensoripari 4- ja 5-valentti täyttää kaikki nämä identiteetit, voidaan jossain vaiheessa löytää Riemannin monisto kaarevuustensorin ja sen kovarianttiderivaatan avulla. Kowalski ja Berger osoittivat yleistyksen korkeampiin johdannaisiin. [yksi] $\nabla R$ $A$ $B$ $R=A$ $\nabla R=B$

Leikkauskaarevuus

Poikkileikkauskaarevuus on toinen vastaava kuvaus Riemannin moniputkien kaarevuudesta, jolla on geometrisempi kuvaus.

Leikkauskaarevuus on funktio , joka riippuu poikkileikkauksen suunnasta pisteessä (eli kaksiulotteisessa tasossa tangenttiavaruudessa kohdassa ). Se on yhtä suuri kuin eksponentiaalikartoituksen muodostaman pinnan Gaussin kaarevuus mitattuna pisteessä . $K(\sigma )$ $\sigma$ $s$ $s$ $s$

Jos on kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria , Sitten $v,\;u$ $\sigma$

K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},

missä

K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle .

Seuraava kaava osoittaa, että poikkisuuntainen kaarevuus kuvaa kaarevuustensorin täysin:

6\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =

{\näyttötyyli [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}

{\näyttötyyli [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}

Tai yksinkertaisemmassa muodossa osittaisilla derivaatoilla :

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.

Kaareva muoto

Liitoslomake määrittelee vaihtoehtoisen tavan kuvata kaarevuutta. Tätä esitystapaa käytetään pääasiassa yleisiin vektorinippuihin ja päänippuihin, mutta se toimii hyvin tangenttikimpuille, joissa on Levi-Civita-yhteys .

Kaarevuus -ulotteisessa Riemannin monistossa saadaan antisymmetrisellä 2-muodon matriisilla (tai vastaavasti 2-muodolla, jonka arvot ovat , eli Lie-algebrassa ortogonaalisesta ryhmästä , joka on Riemannin moniston tangenttikimppu). $n$ $n\ kertaa n$ ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i))$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {niin} (n)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {O} (n)}$

Antaa olla paikallinen ortonormaali kehys. Yhteysmuodon määrittää 1-muotojen antisymmetrinen matriisi , seuraava identiteetti $e_{i}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i))$

\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},\;e_{k}\rangle .

Sitten kaarevuuden muoto määritellään seuraavasti ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i))$

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega .

Seuraava yhtälö kuvaa kaarevuuden muodon ja kaarevuustensorin välistä suhdetta:

R(u,\;v)w=\Omega (u\wedge v)w.

Tämä lähestymistapa sisältää automaattisesti kaikki kaarevuustensorin symmetriat paitsi ensimmäinen Bianchi-identiteetti , josta tulee

\Omega \wedge \theta =0.

jossa on 1-muotojen -vektori, joka määritellään muodossa . ${\displaystyle \theta =\theta ^{i))$ $n$ $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},\;v\rangle$

Toinen Bianchin identiteetti saa muodon

D\Omega =0.

$D$ tarkoittaa ulompaa kovarianttijohdannaista.

Kaarevuusmuoto yleistetään pääkimpuksi , jossa on Lie - rakenneryhmä seuraavasti: $E$ $G$

\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ],

missä on yhteysmuoto ja on ryhmän tangentti Lie-algebra $\omega$ $E$ $\mathfrak g$ $G$

Kaareva muoto katoaa, jos ja vain, jos yhteys on paikallisesti tasainen.

Kaarevuusoperaattori

Joskus on kätevää ajatella kaarevuutta operaattorina tangenttibivektoreille (elementeille ), jotka määritellään yksiselitteisesti seuraavalla tunnisteella: $K$ $\Lambda ^{2}(T)$

\langle Q(u\wedge v),\;w\wedge z\rangle =\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle .

Tämä on mahdollista johtuen kaarevuustensorin symmetrioista (eli ensimmäisen ja viimeisen indeksiparin antisymmetriasta ja näiden parien lohkosymmetriasta).

Muut kaarevat

Yleensä seuraavat tensorit ja funktiot eivät täysin kuvaa kaarevuustensoria, mutta niillä on tärkeä rooli.

Skalaarikaarevuus

Skalaarikaarevuus on funktio Riemannin monistimessa, jota yleensä merkitään . $\operaattorinimi {Sc}$

Tämä on kaarevuustensorin koko jälki . Ortonormaalille perustalle tangenttiavaruudessa meillä $\{e_{i}\}$ $s$

\operaattorinimi {Sc} =\sum _{i,\;j}\langle R(e_{i},\;e_{j})e_{j},\;e_{i}\rangle =\ summa _{i}\langle \operaattorinimi {Ric} (e_{i}),\;e_{i}\rangle ,

jossa tarkoittaa Ricci-tensoria . Tulos ei riipu ortonormaalisen perustan valinnasta. $\operaattorinimi {Ric}$

Dimensiosta 3 alkaen skalaarikaarevuus ei täysin kuvaa kaarevuustensoria.

Ricci kaarevuus

Ricci-kaarevuus on lineaarinen operaattori tangenttiavaruudessa pisteessä, jota yleensä merkitään . Kun ortonormaali kanta tangenttiavaruudessa pisteessä , se määritellään seuraavasti $\operaattorinimi {Ric}$ $\{e_{i}\}$ $s$

\operaattorinimi {Ric} (u)=\sum _{i}R(u,\;e_{i})e_{i}.

Tulos ei riipu ortonormaalisen perustan valinnasta. Dimensioissa neljä tai enemmän Ricci-kaarevuus ei kuvaa täysin kaarevuustensoria.

Selkeät ilmaukset Ricci-tensorille Levi-Civita-yhteyksien suhteen on annettu Christoffel-symboleja käsittelevässä artikkelissa .

Weyl tensori

Weyl-tensorilla on samat symmetriat kuin kaarevuustensorilla, plus yksi ylimääräinen: jälki (sama kuin Riccin kaarevuus) on 0. $W$

Mitoissa 2 ja 3 Weyl-tensori on nolla, mutta jos mitta on > 3, se voi olla eri kuin nolla.

Kaarevuustensori voidaan jakaa osiin: toinen riippuu Ricci-tensorista, toinen Weyl-tensorista.
Mittarin konforminen muutos ei muuta Weyl-tensoria.
Vakiokaarevuuden moninaiselle Weyl-tensori on nolla.
- Lisäksi , jos ja vain jos metriikka on paikallisesti konforminen euklidinen. $W=0$

Ricci-hajoaminen

Yhdessä Ricci-tensori ja Weyl-tensori määrittelevät kaarevuustensorin kokonaan.

Kaarevuuslaskenta

Hyperpintojen ja osamonistojen kaarevuuden laskemiseksi katso toinen perusmuoto ,
Katso koordinaattien kaarevuuden laskeminen kohdasta Kovarianttiderivaatat .
Katso kaarevuuden laskeminen liikkuvalla vertailumenetelmällä kohdasta Kaarevuuden muoto .
Jacobin yhtälöstä voi olla hyötyä, jos geodesiikan käyttäytyminen tunnetaan .

Muistiinpanot

↑ Kowalski, Oldrich; Belger, Martin Riemannin metriikka määrätyllä kaarevuustensorilla ja kaikilla sen kovarianttijohdannaisilla yhdessä pisteessä. Matematiikka. Nachr. 168 (1994), 209-225.

Linkit

Kobayashi Sh ., Nomizu K. Differentiaaligeometrian perusteet / käänn. englannista. L. V. Sabinina . - M . : Tiede. Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos , 1981. - T. 1. - 344 s.