Box-Muller muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. tammikuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Box-Muller-muunnos on menetelmä standardien normaalijakauman satunnaismuuttujien mallintamiseen . On kaksi vaihtoehtoa. Menetelmä on tarkka, toisin kuin esimerkiksi keskirajalauseeseen perustuvat menetelmät .

Menetelmän julkaisivat vuonna 1958 George Box ja Mervyn Muller.

Ensimmäinen vaihtoehto

Olkoon ja riippumattomia satunnaismuuttujia tasaisesti jakautuneina aikavälille . _ Laske ja kaavat $r$ $\varphi\$ $(0,\;1]$ $z_{0}$ $z_{1}$

z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r)),

z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.

Silloin ja ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita matemaattisella odotuksella 0 ja varianssilla 1. Tietokoneella toteutettuna on yleensä nopeampaa olla laskematta molempia trigonometrisiä funktioita - ja - vaan laskea toinen niistä toisen kautta [todiste?]. On vielä parempi käyttää sen sijaan Box-Muller-muunnoksen toista versiota. $z_{0}$ $z_{1}$ $\cos(\cdot )$ $\sin(\cdot )$

Toinen vaihtoehto

Olkoon ja riippumattomia satunnaismuuttujia tasaisesti jakautuneina välillä . Lasketaan . Jos käy ilmi, että tai , niin ja arvot tulisi "heittää pois" ja luoda uudelleen. Heti kun ehto on täytetty , kaavojen mukaan $x$ $y$ $[-1,\;1]$ ${s=x^{2}+y^{2}}$ ${s>1}$ ${s=0}$ $x$ $y$ ${0<s\leqslant 1}$

z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

tulee laskea ja , jotka, kuten ensimmäisessä tapauksessa, ovat itsenäisiä suureita, jotka täyttävät normaalin normaalijakauman. $z_{0}$ $z_{1}$

Ensimmäisen muunnelman perussatunnaismuuttujien käyttökerroin on luonnollisesti yhtä suuri kuin yksi. Toisessa vaihtoehdossa tämä on yksikkösäteen ympyrän pinta-alan suhde neliön pinta -alaan, jonka sivu on kaksi, eli . Käytännössä toinen variantti on kuitenkin yleensä nopeampi, koska se käyttää vain yhtä transsendentaalista funktiota , . Tämä etu useimmille toteutuksille on suurempi kuin tarve luoda tasaisemmin jakautuneita satunnaismuuttujia. $\pi /4\noin 0{,}785$ $\ln(\cdot )$

Siirtyminen yleiseen normaalijakaumaan

Normaalin normaalin satunnaismuuttujan saamisen jälkeen voidaan helposti vaihtaa normaalijakaumaan satunnaismuuttujaan matemaattisella odotuksella ja keskihajonnan avulla kaavan avulla $z$ $\xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma$

\xi =\mu +\sigma z.

Tämä ei ole enää osa Box-Muller-muunnosta, mutta mahdollistaa normaalin satunnaismuuttujan generoinnin.

Katso myös

Ziggurat-algoritmi

Linkit

Tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan muuntaminen normaalijakaumaksi Arkistoitu 26. elokuuta 2014 Wayback Machinessa