Yleinen kovarianssiperiaate

Yleisen kovarianssin periaate on periaate, jonka mukaan fysikaalisia ilmiöitä eri koordinaattijärjestelmissä kuvaavilla yhtälöillä on oltava sama muoto. Tällaisia yhtälöitä kutsutaan yleisesti kovarianteiksi. Esimerkki Newtonin mekaniikasta on liikeyhtälöt ei - inertiaalisissa vertailukuvissa , mukaan lukien inertiavoimat .

Yleisen kovarianssin periaatteella oli suuri heuristinen merkitys yleisen suhteellisuusteorian yhtälöiden johtamisessa , jossa se muotoiltiin seuraavasti: fysikaalinen yhtälö täyttyy mielivaltaisessa gravitaatiokentässä, jos

yhtälö pätee painovoiman puuttuessa , eli se noudattaa erityissuhteellisuuden lakeja , kun siinä oleva metrinen tensori on yhtä suuri kuin Minkowskin tasainen aika -avaruustensori ja affiiniyhteys on nolla (kaikkien vertailukehysten ekvivalenssi) ja
fysikaalinen yhtälö on yleensä kovariantti, eli se säilyttää muotonsa mielivaltaisen koordinaattimuunnoksen alla (yhtälöiden fyysinen sisältö ei riipu koordinaattijärjestelmän valinnasta).

Jos koordinaattien muuntamisen seurauksena niistä riippuvat muuttujat (koordinaattifunktiot) ovat muuttuneet jonkin lain mukaan, niin yleisen kovarianssin periaate edellyttää, että uusien koordinaattien uudet funktiot täyttävät samantyyppiset yhtälöt kuin koordinaattifunktiot. vanhojen koordinaattien vanhat funktiot.

Yleisen kovarianssin periaate ja ekvivalenssiperiaate

Oletetaan, että tarkastelemme jotakin yhtälöä, joka täyttää yleisen kovarianssin periaatteen mielivaltaisessa gravitaatiokentässä . Yhtälö on yleensä kovariantti, eli se pätee kaikissa koordinaattijärjestelmissä, jos se on voimassa missä tahansa koordinaattijärjestelmässä. Mutta missä tahansa pisteessä on paikallisesti inertiakoordinaattijärjestelmä, jossa painovoima puuttuu. Edellytys erityissuhteellisuuden lakien noudattamisesta painovoiman puuttuessa tarkoittaa, että yhtälö pätee paikallisessa inertiakoordinaatistossa ja yleisestä kovarianssista johtuen kaikissa muissa koordinaattijärjestelmissä. Näin ollen yleisen kovarianssin periaate seuraa ekvivalenssiperiaatteesta .

Soveltamisrajat

Vain pieniltä alueilta löytyy koordinaattijärjestelmiä, joissa ekvivalenssiperiaatteen vuoksi ei ole gravitaatiovaikutuksia. Siksi yleisen kovarianssin periaatetta voidaan soveltaa vain asteikoissa, jotka ovat pieniä verrattuna gravitaatiokentän asteikoihin.

Merkitys yleisen suhteellisuusteorian kannalta

Yleisen kovarianssin periaate ja Newtonin painovoimalain noudattamisen vaatimus heikkojen gravitaatiokenttien ja gravitaatiomassojen hitaiden liikkeiden osalta osoittautuvat riittäviksi edellytyksiksi yleisen suhteellisuusteorian relativistisen gravitaatiolain määrittämiseksi .

Matemaattinen kuvaus

Yleisiä kovarianttimuunnoksia kutsutaan osittaisten derivaattojen muodon ja operaattorien koordinaattien muunnoksiksi [1] . Nämä muunnokset määrittelevät yleisen suhteellisuusteorian symmetriaryhmän [2] . Lorentzin muunnokset ovat näiden muunnosten erikoistapaus. Yleisen suhteellisuusteorian lagrangilaiset voidaan saada erikoissuhteellisuusteorian lagrangialaisista korvaamalla niissä Minkowski-metriikka pseudo-Riemannin metriikassa , derivaatat kovarianttiderivaatailla ( ) ja tilavuuselementti [2] :lla . ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu '))$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\to \partial _{\mu '}=\sum _{\nu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu ' ))}\osittainen _{\nu ))$ ${\displaystyle g_{\mu \nu ))$ $\partial_\mu$ ${\displaystyle D_{\nu ))$ ${\displaystyle D_{\nu }\tau ^{\mu }=\partial _{\nu }\tau ^{\mu }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }\tau ^{\ alfa))$ $d^{4}x$ ${\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Ivanenko, 2004 , s. 24.
↑ 1 2 Ivanenko, 2004 , s. 36.

Kirjallisuus

Fok V.A. Avaruuden, ajan ja painovoiman teoria, 2. painos - M .: Nauka .- 1961.- 568 s.
Weinberg S. "Gravitaatio ja kosmologia", Yleisen suhteellisuusteorian periaatteet ja sovellukset, käänn. englannista. V. M. Dubovik ja E. A. Tagirov, toimittanut Ya. A. Smorodinsky, "Platon", 2000, ISBN 5-80100-306-1 , osa 2 "Yleinen suhteellisuusteoria", ch. 4 "Tensorianalyysi", s. 1 "Yleisen kovarianssin periaate", s. 106-109;
Treder V. A. Gravitaatioteoria ja ekvivalenssiperiaate.- M .: Atomizdat .- 1973.- 169 s., UDC 53.02;
Bergman P. Painovoiman arvoitus., Per. englannista. V. A. Ugarova - M.: Nauka - 1969. - 530.1 B 48 UDC 530.12: 531.51, ch. 2 "Yleinen suhteellisuusteoria", s. 10 "Yleisen kovarianssin periaate", s. 79-84;
Ivanenko D.D. , Sardanašvili GA. Painovoima. — M .: Pääkirjoitus URSS , 2004. — 200 s. — ISBN 5-354-00538-8 .