Suora määrä

Symboli tarkoittaa suoran määrän ottamista; se on myös maapallon symboli tähtitieteessä ja astrologiassa sekä yksinomaisuuden tai toiminnan symboli .

\oplus

Suora summa on johdettu matemaattinen objekti, joka on luotu perusobjekteista alla määriteltyjen sääntöjen mukaisesti. Perusavaruudet ovat useimmiten vektoriavaruuksia tai Abelin ryhmiä . Tästä rakenteesta on myös yleistys Banach- ja Hilbert-tiloihin .

Kahden objektin ja suoraa summaa merkitään , ja mielivaltaisen objektijoukon suoraa summaa merkitään . Tässä tapauksessa mielivaltaista kutsutaan suoraksi summaksi . $A$ $B$ $A\oplus B$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$

Äärillisen määrän aliavaruuksien suora summa

Lineaarisen avaruuden sanotaan olevan sen aliavaruuksien suora summa : $X$ $M_1,\pisteet,M_n$

X = M_1\oplus\pisteet\oplus M_n,

jos jokainen vektori esitetään summana $x\in X$

x=m_{1}+\dots +m_{n},\quad m_{i}\in M_{i},\quad (\ast )

ja ainutlaatuisella tavalla.

Kommentti

Viimeinen ehto ("ainutlaatuisella tavalla") on erittäin tärkeä. Ilman sitä saamme vain aliavaruuksien summan määritelmän (merkitty merkillä ). Lineaarisen avaruuden määritelmästä seuraa, että kunkin vektorin laajennuksen yksilöllisyyden ehto ( ) vastaa laajennuksen yksilöllisyyden ehtoa ( ) vain nollavektorille ( kaikille summan ( ) termeille) ). $X = M_1 +\pisteet+ M_n$ $\ast$ $x\in X$ $\ast$ $x=0$ $\ast$ $m_i=0$

Esimerkkejä

Kolmiulotteinen lineaarinen avaruus on tason (eli kaksiulotteisen aliavaruuden) ja minkä tahansa suoran (yksiulotteisen aliavaruuden) suora summa, joka ei ole tässä tasossa, sekä minkä tahansa kolmen viivan suora summa jotka eivät ole samassa tasossa. Kolmiulotteinen lineaariavaruus on kahden ei-yhteensopivan tason summa, mutta se ei ole niiden suora summa, koska tasojen leikkauspiste antaa suoran (ja siksi nollavektori voidaan esittää äärettömällä monella tavalla: , missä ja ovat vastakkaisia vektoreita tällä viivalla). $0=m_1+m_2$ $m_1$ $m_2$

Korkeintaan astepolynomien avaruus (kiinteässä määrässä muuttujia) voidaan esittää suorana summana , jossa on homogeenisten astepolynomien aliavaruus . Jos poistamme homogeenisuusehdon määritelmästä, summa ei ole enää suora. $n$ $M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n,$ $Mi}$ $i$ $Mi}$

Äärillisen määrän välilyöntejä suora summa

Suoran summan käsite ulottuu tapaukseen, jossa ne eivät alun perin ole minkään yksittäisen ympäröivän lineaariavaruuden aliavaruuksia. Sekaannusten välttämiseksi suoraa summaa tässä mielessä kutsutaan ulommaksi suoraksi summaksi, kun taas aliavaruuksien suoraa summaa kutsutaan sisäiseksi suoraksi summaksi. $X = M_1\oplus\pisteet\oplus M_n$ $M_1,\pisteet,M_n$

Antaa olla vektoriavaruuksia kentän päällä . Määrittelemme kantoaaltojoukon joukkojen suorakulmaiseksi tuloksi ja esittelemme sille vektoriavaruusoperaatioita kaavoilla $M_1,\ldots M_n$ $K$ $X$ $X = M_1\kertaa\pistettä\kertaa M_n$

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \quad x_i,y_i \in M_i \quad (*)

\alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i \in M_i, \alpha\in K \quad (**)

Jokaiselle on luonnollisia upotuksia , jotka ovat täsmälleen niiden vektorien joukko, joiden kaikki koordinaatit suorassa tulossa, lukuun ottamatta -: nnettä koordinaattia, ovat yhtä suuria kuin nolla. Jos identifioimme tilat vastaavilla aliavaruuksilla , jokainen vektori voidaan esittää yksilöllisesti siten, että se on sisäinen suora summa . $i$ $f:M_i\-X$ $f(M_i)$ $i$ $Mi}$ $X$ $x\in X$ $x=m_1+\pisteet+m_n,$ $m_i\in M_i,$ $X$ $Mi}$

Moduulien suora summa renkaan yli (ja erityisesti Abelin ryhmien suora summa, jotka ovat moduuleita kokonaislukurenkaan yli) määritellään samalla tavalla . $K$

Satunnaisen välilyönnin suora summa

Vain tarkasteltaessa äärettömän määrän avaruuden suoraa summaa ilmenee sen ero näiden tilojen suorasta tulosta. Olkoon indeksoitu perhe vektoriavaruuksia kentän yli , niin niiden suora summa on äärellisten muodollisten summien joukko $Mi}$ $K$

\sum\limits_{i\in I} x_i, \; x_i\in M_i

komponenttikohtaisilla summausoperaatioilla ja kertomalla skalaarilla : $\alpha \in K$

\alpha(\sum_{i\in I} x_i)=\sum_{i\in I} \alpha x_i

Ilmeisesti kahden äärellisen summan summa on jälleen äärellinen summa, joten suora summa on suljettu vektoriavaruusoperaatioissa. Moduulien suoran summan määrittämiseksi riittää , että kenttä korvataan jollain renkaalla. $K$

Suoran summan ominaisuudet

Jos vektoriavaruus on äärellisulotteinen, niin . Samanlaiset väitteet pätevät Abelin ryhmän arvolle ja moduulin pituudelle . $X$ $\dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n$
Lineaaristen aliavaruuksien kantojen liitto on kanta . $M_i\;(i=1,\pisteet,n$ $X$
Jokainen kentän yläpuolella oleva vektoriavaruus on isomorfinen joidenkin kopioiden suoralle summalle . Tämä koskee myös ilmaisia moduuleja . $K$ $K$
Kahden avaruuden suoran summan operaatio on kommutatiivista ja assosiatiivista isomorfismiin asti .
K -lineaaristen homomorfismien ryhmä suorasta avaruussummasta on isomorfinen erillisistä avaruksista saatujen homomorfismiryhmien tulolle:

\operaattorinimi{Hom}_K\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operaattorinnimi{Hom}_K\left(M_i,L\oikea).

Erityisesti avaruuden suoran summan duaali on isomorfinen suoran summan komponenttien duaalien tulon kanssa .

Katso myös

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Volume 1. Algebralliset rakenteet. Lineaarinen ja multilineaarinen algebra - M.: GIFML, 1962.
Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, - M .: Nauka, 1971.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria, - M.: Nauka, 1986.
Faddeev D. K. Luennot algebrasta, - M .: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.