Tuloksena

Matematiikassa kahden polynomin ja jonkin kentän , jonka suurimmat kertoimet ovat yhtä suuret kuin yksi , resultanttia kutsutaan lausekkeeksi $P$ $K$ $\mathbb {K}$

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(xy),

toisin sanoen se on niiden juurien välisten parittaisten erojen tulos. Tulokseen tässä otetaan kaikki juuret kentän algebrallisessa sulkemisessa , ottaen huomioon niiden monikerroisuudet; koska tuloksena oleva lauseke on symmetrinen polynomi polynomien juurissa ja (ehkä kentän ulkopuolella ), se osoittautuu näin ollen polynomiksi kertoimissa ja . Polynomeille, joiden johtavat kertoimet ( ja vastaavasti) eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin 1, yllä oleva lauseke kerrotaan $\mathbb {K}$ $P$ $K$ $\mathbb {K}$ $P$ $K$ $s$ $q$

p^{{\deg Q}}q^{{\deg P}}.

Ominaisuudet ja laskentamenetelmät

Resultantin (ja sen pääsovelluksen) pääominaisuus on seuraava: resultantti on polynomi kertoimissa ja , yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos polynomeilla ja on yhteinen juuri (ehkä jossain kentän laajennuksessa ). $P$ $K$ $P$ $K$ $\mathbb {K}$
Resultantti löytyy Sylvester-matriisin determinantiksi .
Diskriminantti on etumerkkiin asti polynomin ja sen derivaatan resultantti jaettuna polynomin johtavalla kertoimella; siis diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla silloin ja vain, jos polynomilla on useita juuria.
${\mathrm {res}}(P_{1}P_{2},Q)={\mathrm {res}}(P_{1},Q){\mathrm {res}}(P_{2},Q)$
${\mathrm {res}}(P,\operaattorinimi {const})=\operaattorinimi {const}^{{\deg P}}$
$\mathrm {res} (AP(x),BQ(x))=A^{\deg Q}B^{\deg P}\mathrm {res} (P(x),Q(x))$
Jos , niin $A,C\neq 0,\deg(AP(x)+BQ(x))=\deg(CP(x)+DQ(x))=n\geqslant 1$

{\mathrm {res}}(AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x))=(AD-BC)^{n}{\mathrm {res}}(P(x) ,Q(x))

${\mathrm {res))(P,Q)=0\nuoli vasen oikealle \deg \gcd(P,Q)\geqslant 1$ , eli resultantti on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos polynomien gcd on ei-triviaali. Yleensä resultantin laskenta voidaan tehdä euklidisella algoritmilla, ja näin resultantti lasketaan erilaisissa mattopaketeissa.
Polynomeille on olemassa polynomeja , joilla on sellainen, että $P(x), Q(x)$ $U(x), V(x)$ $\deg {U}\leqslant \deg {P}-1,\deg {V}\leqslant \deg {Q}-1$

{\mathrm {res}}(P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)

. Polynomit c voidaan saada resultantin Sylvester-determinanttiesityksestä, jolloin viimeinen sarake korvataan for- tai for- merkillä .

U(x), V(x)

m=\deg U,n=\deg V

(x^{m},...,x,1,0,...,0)^{T}

U(x)

(0,...,0,x^{n},...,x,1)^{T}

V(x)

Erotettavissa olevalle polynomille (erityisesti kentille, joilla on ominaisuus nolla) resultantti on yhtä suuri kuin yhden polynomin arvojen tulo toisen juurilla (kuten edellä, tulo otetaan huomioon juurten moninaisuus):

{\mathrm {res}}(P,Q)=\prod _{{P(x)=0}}Q(x).

Kirjallisuus

Prasolov VV:n polynomit. — M .: MTsNMO , 1999, 2001, 2003.
Kalinina E.A., Uteshev A.Yu. Syrjäytymisen teoria. - Pietarin valtionyliopisto, kemian tutkimuslaitos, 2002.

Linkit

Artikkeli Weisstein, Eric W. "Resultant" at MathWorld.