Vapaa kenttä
Vapaa kenttä on fyysinen kenttä , jonka kvantit ovat vuorovaikuttamattomia hiukkasia ja jota kuvataan energian ja liikemäärän avulla. [1] Vapaat kentät vastaavat erilaisia hiukkasia, jotka muodostavat perustan näiden hiukkasten kuvaamiselle vuorovaikutteisten kenttien teorian puitteissa. [2]
Kuvaus
Klassisessa fysiikassa vapaa kenttä on kenttä, jonka liikeyhtälöt on annettu lineaarisilla osittaisilla differentiaaliyhtälöillä (PDE). [1] Heillä on ainutlaatuinen ratkaisu tiettyyn alkutilaan.
Kvanttikenttäteoriassa kvantisoitu kenttä , joka on matemaattisesti kuvattu yleisillä funktioilla operaattoriarvoilla , on vapaa kenttä, jos se täyttää jonkin lineaarisen PDE:n siten, että klassisen kentän saman lineaarisen PDE:n vastaava tapaus on Euler. -Lagrangen yhtälö jollekin toisen asteen Lagrangian . [1] Voimme erottaa nämä yleistyneet funktiot määrittelemällä niiden derivaatat differentioiduiksi yleistetyiksi funktioiksi . Katso lisätietoja yleistoiminnosta . Koska kyse ei ole tavallisista yleisfunktioista, vaan yleisistä funktioista, operaattoriarvoista, on selvää, että nämä PDE:t eivät ole tilojen rajoituksia, vaan kuvaavat laajennettujen kenttien välisiä suhteita. PDE:n lisäksi operaattorit täyttävät myös toisen suhteen, kommutointi- ja antikommutaatiorelaatiot.
Kanoninen kommutaatiorelaatio
Tyypillisesti kommutaattori ( bosoneille ) tai antikommutaattori fermioneille , kahdella laajennetulla kentällä on Peierlsin hakasulkeissa kentän tulo itsensä kanssa (mitä kuvaa todella yleistetty, ei tavallinen funktio), yleistettyjen laajennettujen funktiokenttien osittaista differentiaaliyhtälöä varten. Matemaattisesti tätä kuvaa CCR- ja CAR-algebra .
CCR/CAR-algebroilla, joilla on äärettömän monta vapausastetta, on monia ei-ekvivalentteja pelkistymättömiä unitaarisia esityksiä. Jos teoria määritellään Minkowski-avaruuden yli , voimme valita unitaarin pelkistymättömän esityksen, joka sisältää tyhjiötilan , vaikka tämä ei aina ole välttämätöntä.
Esimerkki
Olkoon yleistetty funktio operaattorin arvolla ja PDE:llä (Klein-Gordon):
.
Tämä on bosoninen kenttä. Määritä yleinen funktio Peierls-sulkeilla
Sitten,
missä on klassinen kenttä ja ovat Peierls-sulut.
Sitten kanoninen kommutaatiosuhde
.![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f9297fe8d6d53461b570599cbcc7891908537)
Huomaa, että se on yleistetty funktio, jossa on kaksi argumenttia ja jota voidaan laajentaa loputtomasti.
Vastaavasti voisimme vaatia sitä
![{\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\ }=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51848760784065569b2062c0879950a27fcfbc43)
missä on aikajärjestysoperaattori ja ja erotetaan avaruusmaisella neliulotteisella välillä .
.
![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605eb8bee06db5e4bc1d0f9e20003a50fc5da41)
Katso myös
- Normaali tilaus
- Wickin lause (kvanttielektrodynamiikassa)
Muistiinpanot
- ↑ 1 2 3 Thirring, 1964 , s. 53.
- ↑ Bogolyubov, 1957 , s. 26.
Kirjallisuus
- Walter E. Thirring . Kvanttielektrodynamiikan periaatteet. - M . : Korkeakoulu, 1964. - 226 s.
- N. N. Bogolyubov ja D. V. Shirkov . Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1957. - 441 s.