Vintage Dirichlet

Dirichlet-konvoluutio on lukuteoriassa käytetyille aritmeettisille funktioille määritelty binäärioperaatio , jonka esitteli ja tutki saksalainen matemaatikko Dirichlet .

Määritelmä

Kahden aritmeettisen funktion Dirichlet-konvoluutio on aritmeettinen funktio, joka määritellään seuraavasti: $f*g$ $f$ $g$

(f*g)(n)=\summa _{{d\mid n}}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{{ab=n }}f(a)g(b)

jossa summa otetaan kaikki argumentin luonnolliset jakajat , tai vastaavasti kaikkien luonnollisten lukujen parien, joiden tulo on yhtä suuri kuin . $d$ $n$ $(a, b)$ $n$

Ominaisuudet

Aritmeettisten funktioiden joukko pisteittäisellä summauksella (eli funktio määräytyy relaatiolla ) ja Dirichlet-konvoluutio muodostavat kommutatiivisen renkaan , jota kutsutaan Dirichlet-renkaaksi . Renkaan yksikkö on funktio , joka määritellään , if ja , if . Käännettävät elementit ovat kaikki sellaisia toimintoja , että . $f+g$ $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ $\epsilon$ $\epsilon(n)=1$ $n = 1$ $\epsilon(n)=0$ $n>1$ $f$ $f(1)\neq 0$

Erityisesti Dirichlet-konvoluutio on [1] assosiatiivinen :

{\näyttötyyli (f*g)*h=f*(g*h)}

jaetaan lisäyksellä:

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f

kommutatiivinen :

f*g=g*f

ja siinä on neutraali elementti :

f*\epsilon =\epsilon *f=f

Kahden multiplikatiivisen funktion Dirichlet-konvoluutio on jälleen kerran kertova, ja jokaisella kertofunktiolla on multiplikatiivinen Dirichlet-inversio. If on täysin kertova funktio , niin , jossa funktioiden kertolasku määritellään niiden pistemäiseksi koostumukseksi. Kahden täysin kertovan funktion konvoluutio ei aina ole täysin multiplikatiivista. $f$ $f(g*h)=(fg)*(fh)$

Dirichlet'n vetoomus

Jokaiselle funktiolle , jolle on olemassa funktio , joka ( on renkaan yksikkö kertolaskussa), kutsutaan funktion Dirichlet-inversioksi . $f$ $f(1)\neq 0$ $g$ $f*g=\epsilon$ $\epsilon$ $f$

Identiteettifunktion Dirichlet-inversio on Möbius-funktio , joten monet tulokset seuraavat, erityisesti: $1(n) = 1$

g=f*1\nuoli vasemmalle oikealle f=g*\mu

( Möbiuksen inversiokaava ),

\lambda *|\mu |=\epsilon

, missä on Liouville-funktio ,

\lambda

\lambda *1=1_{S},

missä on neliöiden joukko.

S=\{1;4;9;16;...\}

Suhde Divisors-toimintoon : ${\displaystyle \sigma _{k))$

\sigma _{k}(n)=\sum \limits _{{d\mid n}}d^{k}

laskemalla yhteen luvun jakajien potenssi, konvoluutioon liittyy myös useita merkittäviä ominaisuuksia: $k$

\sigma _{1}=\operaattorin nimi {Id} *1

( on vakiofunktio ),

\operaattorinimi {Id}

\operaattorin nimi {Id} (n)=n

\sigma _{k}=\operaattorin nimi {Id} _{k}*1

( - argumentin voima: ),

\operaattorinimi {Id}_{k}

k

{\displaystyle \operaattorin nimi {Id} _{k}(n)=n^{k))

\tau =1*1

(tässä on luvun jakajien lukumäärä ),

\tau=\sigma _{0}

n

\operatorname {Id} =\sigma _{1}*\mu

1=\tau*\mu

\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}

Suhde Euler-funktioon : $\varphi$

\varphi *1=\operaattorinimi {Id}

\sigma _{1}=\varphi *\tau

Suhde Jordanin kanssa : ${\displaystyle J_{k))$

J_{k}*1=\operaattorinimi {Id}

{\displaystyle (\operaattorin nimi {Id} _{s}J_{r})*J=J_{s+r))

Suhde Mangoldt-funktioon : $\lambda$

\Lambda *1=\ln

Dirichlet'n vetoomus

Jos aritmeettinen funktio on annettu , niin sen Dirichlet-inversio voidaan laskea rekursiivisesti (tarkemmin sanottuna jokainen arvo ilmaistaan muodossa for ) Dirichlet-inversion määritelmän avulla. $f$ $g=f^{{-1}}$ $g(n)$ $g(m)$ $m<n$

For - määritelty klo $n = 1$ $g(1)=f^{{-1}}(1)$ $f(1)\neq 0$

Ja yleisesti kaikille : $n>1$

g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\mid n}{d<n}}f\left({\frac {n} {d}}\oikea)g(d)

$g(n)$ määritelty jos . Siten funktiolla on Dirichlet-inversio silloin ja vain jos . $f(1)\neq 0$ $f$ $f(1)\neq 0$

Dirichlet sijoittuu

Minkä tahansa aritmeettisen funktion Dirichlet -sarja voidaan määritellä generoivan funktion muodossa $f$

\operaattorinimi {DG}(f;s)=\summa \limits _{{n=1}}^{{+\infty }}{\frac {f(n)}{n^{s}}}

kaikille sellaisille monimutkaisille argumenteille , joille sarja konvergoi. Dirichlet-sarjan tuote liittyy sen Dirichlet-konvoluutioon seuraavasti: $s$

\operaattorinimi {DG}(f;s)\operaattorinimi {DG}(g;s)=\operaattorinimi {DG}(f*g;s)

kaikille , joille molemmat vasemmanpuoleiset sarjat suppenevat ja ainakin yksi suppenee ehdottomasti (tässä tapauksessa kummankaan vasemmanpuoleisen sarjan tavallinen konvergenssi ei tarkoita oikeanpuoleisten sarjojen konvergenssia). Tämä suhde muistuttaa rakenteellisesti Fourier-sarjan konvergenssilausetta (jossa Dirichlet-sarjalla on Fourier-muunnoksen rooli ). $s$

Muistiinpanot

↑ Chen, 2009 , Todisteet esitetään luvussa 2.

Linkit

Chan Heng Huat. Analyyttinen lukuteoria perustutkinto -opiskelijoille . - World Scientific Publishing Company , 2009. - ISBN 981-4271-36-5 .
Hugh L. Montgomery; Robert C Vaughan. Kertalukuteoria I. Klassinen teoria (englanti) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - Voi. 97. - S. 38. - (Cambridgen traktaatit edistyneessä matematiikassa). - ISBN 0-521-84903-9 .
Jäännössysteemien luokka (mod r) ja niihin liittyvät aritmeettiset funktiot. I. Möbiuksen inversion yleistys, s. 13-23.
Aritmeettiset funktiot, jotka liittyvät kokonaisluvun unitaarisiin jakajiin, s. 66-80.
Kokonaisluvun unitaaristen jakajien määrä , s. 879-880.
Kokonaislukujen äärettömistä jakajista, s. 395-411.
Aritmeettiset funktiot, jotka liittyvät kokonaisluvun äärettömiin jakajiin, s. 373-383.
Sandor, Jozsef; Berge, Antal. Möbius-funktio: yleistykset ja laajennukset // Adv . Nasta. Contemp. Matematiikka. (Kyungshang): päiväkirja. - 2003. - Voi. 6 . - s. 77-128 .
Finch, Steven Unitarism and Infinitarism (pääsemätön linkki) (2004). Arkistoitu alkuperäisestä 1. syyskuuta 2006. (määrätön)