Yksinkertainen kategoria

Yksinkertainen luokka (myös simpleksiluokka , järjestysluokka ) [1] on luokka ei-tyhjiä äärellisiä ordinaaleja , joiden morfismit ovat monotonifunktioita . Sillä on tärkeä rooli algebrallisessa topologiassa [2] ja se on perusta sellaisille konstruktioille kuin yksinkertainen objekti ja yksinkertaistettu joukko .

Yksinkertainen luokka (joskus käytetään merkintää [3] ) muodostetaan objekteista, joiden muoto on , jossa on luonnollinen luku , ja morfismeista , jotka johtuvat muodosta . Toisin sanoen yksinkertaisen luokan objektit ovat äärelliset järjestysluvut ja morfismit ovat ei-tiukkoja monotonisia funktioita niiden välillä. Järjestysluku on luokan alkuobjekti ja pääte . $\Delta$ $\mathbf {Ord}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,\pisteet ,n\))$ $n$ $f:[n]\to [n']$ $i\leqslant j$ $f(i)\leqslant f(j)$ $[0]$ ${\näyttötyyli [1]}$

Ominaisuudet

Mikä tahansa yksinkertaisen luokan morfismi voidaan luoda morfismien koostumuksella [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]

määritellään seuraavasti:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}

(kasvava injektiokartoitus , "vuoto" ),

i

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}

(ei-laskeva surjektiivinen kartoitus, joka ottaa arvon kahdesti).

i

Lisäksi jokaiselle on ainutlaatuinen esitys: $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$

f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n- s+1}\sigma _{j_{t}}^{mt}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}

missä , , . $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$ ${\näyttötyyli n=m-t+s}$

Nämä morfismit täyttävät seuraavat suhteet:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, jos ,

i<j

\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}

, jos ,

i\leqslant j

\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}

Nämä suhteet määrittävät yksilöllisesti morfismit ja . $\delta$ $\sigma$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Järjestyslisäys on bifunktori , joka on määritelty järjestysluvuissa tavalliseksi summaksi: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

[n]+[n']=[n+n']

ja morfismeille ja seuraavan kaavion mukaisesti: $f:[n]\to [n']$ $g:[m]\to [m']$

(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\loppu{tapaukset}}

Yksinkertainen luokka, jossa on järjestyslisäys, muodostaa tiukasti monoidisen luokan .

Sovellukset käyttävät myös laajennettua yksinkertaista luokkaa , yksinkertaistettua luokkaa, jota on täydennetty järjestysluvulla :. Joskus lisättyä yksinkertaista luokkaa kutsutaan algebralliseksi yksinkertaiseksi kategoriaksi , jolloin sitä kutsutaan topologiseksi . ${\displaystyle \Delta _{+))$ $[-1]=\varnothing$ $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ $\Delta$

Muistiinpanot

↑ Joskus pienten kategorioiden luokasta yksinkertaista objektia kutsutaan yksinkertaiseksi kategoriaksi . Lisäksi joskus yksinkertaisesti rikastettuja luokkia kutsutaan samalla tavalla - yksinkertaistettujen joukkojen kategorian yli rikastetuiksi luokiksi . Jos tällaisten rakenteiden yhteydessä on termi "yksinkertainen luokka" , he yrittävät välttää vaihtoehtoisten termien tai pelkän nimityksen käyttämistä. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , s. 204.
↑ Kuinka usein merkitään myös kaikkien lineaarisesti järjestettyjen joukkojen luokka, jossa yksinkertainen luokka on täydellinen alaluokka $\mathbf {Ord}$
↑ Yksinkertainen objekti - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Kirjallisuus

McLane S. Luku 7. Monoidit // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. Murtolukuluokat ja homotopiateoria = Murtolukulaskenta ja homotopyteoria / Englannista kääntänyt M. M. Postnikova . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 s.