Juurijärjestelmä

Juurijärjestelmä ( juurijärjestelmä ) matematiikassa on vektoreiden konfiguraatio euklidisessa avaruudessa , joka täyttää tietyt geometriset ominaisuudet.

Tämä käsite on perustavanlaatuinen Lie-ryhmien ja Lie-algebroiden teoriassa . Juurijärjestelmien luokittelussa käytetyt Coxeter-Dynkin-kaaviot löytyvät matematiikan aloilta, jotka eivät liity eksplisiittisesti Lie-ryhmiin, esimerkiksi singulaarisuusteoriassa .

Määritelmä

Antaa olla äärellinen -ulotteinen euklidinen avaruus , jossa tavallinen skalaaritulo on merkitty . Juurijärjestelmä in on äärellinen joukko nollasta poikkeavia vektoreita (kutsutaan juuriksi ), jotka täyttävät seuraavat ominaisuudet. $V$ $(\cdot ,\;\cdot )$ $V$ $\Phi$

$V$ on juurijärjestelmän lineaarinen jänneväli .
Jos kaksi juurta , ovat kollineaarisia vektoreita , ne ovat joko samat tai $\alpha \in \Phi$ $\beta \in \Phi$ $\beta =-\alpha .$
Jokaiselle juurelle joukko on suljettu suhteessa heijastukseen hypertasossa , joka on kohtisuorassa :tä vastaan , eli mille tahansa kahdelle juurelle ja joukko sisältää heijastuksen $\alpha \in \Phi$ $\Phi$ $\alpha.$ $\alpha$ $\beeta$ $\Phi$ $\beeta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\alpha \in \Phi .$
( Koko kunto ). Jos ja ovat juuret, niin projektio läpi kulkevalle suoralle on puolikokonaisluku, moninkertainen Tämä on $\alpha$ $\beeta$ $\phi ,$ $\beeta$ $\alpha,$ $\alpha.$ $\langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\in \mathbb {Z} .$

Muistiinpanot

Ominaisuuden 3 kannalta integraaliehto vastaa väitettä, että ero ja sen heijastus on yhtä suuri kuin juuri kerrottuna jollakin kokonaisluvulla . $\beeta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )$ $\alpha$
Operaattori $\langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$ ,

ominaisuuden 4 määrittelemä ei ole sisäinen tuote. Yleisesti ottaen se ei ole symmetrinen ja on lineaarinen vain ensimmäisessä argumentissa.

Dimensiota kutsutaan juurijärjestelmän arvoksi. $V$

Juurijärjestelmien luokittelu Dynkinin kaavioiden mukaan

Esimerkkejä sijan 1 ja 2 juurijärjestelmistä

On vain yksi ykkössijainen juurijärjestelmä. Se koostuu kahdesta nollasta poikkeavasta vektorista . Tämä järjestelmä on ns. $\{\alpha ,\;-\alpha \}.$ $A_{1}.$

Sijoituksessa 2 on neljä mahdollista vaihtoehtoa $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,$ $n = 0,\;1,\;2,\;3.$

Sijoitus 2 juurijärjestelmä


Juurijärjestelmä $A_{1}\kertaa A_{1}$	Juurijärjestelmä $A_{2}$

Juurijärjestelmä $B_{2}$	Juurijärjestelmä $G_{2}$

Katso myös

E8 (matematiikka)

Linkit

Dynkin E. B. Puoliyksinkertaisten Lie-algebroiden rakenne // Uspekhi matematicheskikh nauk . - 1947. - T. 2 , nro 4 (20) . — s. 59–127 .
Dynkin E. B. Yksinkertaisten valheryhmien luokittelu // Matemaattinen kokoelma . - 1946. - T. 18 (60) , nro 3 . — S. 347–352 .
Humphreys J. Johdatus lie-algebroiden ja niiden esityksiä teoriaan / Perev. englannista. B. R. Frenkin. — M.: MTsNMO , 2008. — 216 s.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Seminaari valheryhmistä ja algebrallisista ryhmistä - Moskova: URSS, 1995. - 344 s.
Humphrey J. Lineaariset algebralliset ryhmät / Per. englannista / toim. V. P. Platonov. - M.: Nauka, 1980. - 400 s.
Bourbaki N. Lie ryhmät ja algebrat (osa 2) / Per. ranskasta / toim. A. I. Kostrikin. - M.: Mir, 1972. - 332 s.