Pyörityksen ja kiertoradan vuorovaikutus

Spin-kiertoradan vuorovaikutus - kvanttifysiikassa liikkuvan hiukkasen ja sen oman magneettisen momentin välinen vuorovaikutus hiukkasen spinin vuoksi . Yleisin esimerkki tällaisesta vuorovaikutuksesta on atomin yhdellä kiertoradalla sijaitsevan elektronin vuorovaikutus omalla spinillä. Tällainen vuorovaikutus johtaa erityisesti elektronin energiaspektrin ns. hienorakenteen ilmaantumiseen ja atomin spektroskooppisten viivojen halkeamiseen .

Spin-kiertoradan Hamiltonin derivointi

Spin-kiertoradan vuorovaikutus on relativistinen vaikutus , joten tätä vuorovaikutusta vastaavan Hamiltonin osan johtamiseksi tulee aloittaa Diracin yhtälöstä ulkoisen sähkömagneettisen kentän panoksella, joka on otettu huomioon Hamiltonin vektoripotentiaalilla A ja skalaaripotentiaali φ, joka Diracin yhtälössä Lagrangin formalismin [1] mukaan täytyy korvata

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

E\rightarrow E+e\varphi

Tämän seurauksena Diracin yhtälö saa muodon:

i\hbar {{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi

missä $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ ovat Pauli-matriisit

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.

Tästä Hamiltonista voidaan nähdä, että aaltofunktion ψ on oltava nelikomponenttinen ja tiedetään, että kaksi sen komponenteista vastaa positiivisen energian ja kaksi negatiivisen energian ratkaisuja. Negatiivisen energian ratkaisujen rooli on pieni, kun pohditaan magneettisiin ilmiöihin liittyviä kysymyksiä, koska negatiivisen energian spektrin reiät vastaavat positroneja , joiden muodostumiseen energia on luokkaa , joka on paljon suurempi kuin energiaan liittyvä energia. magneettisia ilmiöitä tarvitaan. Yllä olevan yhteydessä on kätevää käyttää kanonista Foldy- ja Wouthuizen-muunnosta [2] , joka jakaa Dirac-yhtälön kaksikomponenttisten yhtälöiden pariksi. Joista toinen kuvaa negatiivisen energian ja toinen positiivisen energian ratkaisuja, ja sen Hamiltonin muoto on seuraava: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\oikea)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\oikea]+{e\varphi }-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\left\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\times {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

Hakasulkeissa olevat termit kuvaavat spin-kiertoradan vuorovaikutusta. Erityisesti, jos sähkökenttä on keskeisesti symmetrinen, niin meillä on , ja spin-kiertoradan vuorovaikutuksen Hamiltonin muoto on: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

missä on elektronin kulmamomentin operaattori . ${\mathbf L}={\mathbf r}\times {\mathbf p}$

Tämä tulos on yhdenmukainen klassisen lausekkeen kanssa, joka kuvaa elektronin spinin vuorovaikutusta kentän kanssa elektronin kiertoradalla. Selitetään tämä.

Klassinen lauseke spin-kiertoradan vuorovaikutusenergialle atomielektronille

Liikkukoon elektroni tasaisesti ja suoraviivaisesti nopeudella v koordinaattijärjestelmän 1 alkupisteeseen sijoitetun ytimen kentässä, joka muodostaa Coulombin kentän . Kehyksessä 2, joka liittyy liikkuvaan elektroniin, havainnoija näkee liikkuvan ytimen, joka luo sekä sähkö- että magneettikentän vahvuuksilla E' ja H' , vastaavasti. Kuten suhteellisuusteoriasta seuraa, E' ja H' liittyvät E : hen seuraavilla suhteilla: $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\noin -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\times {\mathbf E}=-{\ frac {1}{mc)){\mathbf p}\times {\mathbf E}.

Kun tilausehdot hylätään $v^{2}/c^{2}.$

Tällöin liikemäärän spin-momentin muutoksen yhtälö (joka liittyy Uhlenbeck-Goudsmit-hypoteesin mukaan gyromagneettiseen suhteeseen magneettiseen momenttiin as ) koordinaattijärjestelmässä 2 on muotoa: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\boldsymbol \mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu }|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Tämä yhtälö vastaa elektronin spinin vuorovaikutusta sähkömagneettisen kentän kanssa, jota kuvaa Hamiltonin seuraava muoto:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Huomaa, että Hamiltonin muoto kertoimeen 1/2 asti osuu yhteen Diracin yhtälöstä Foldyn ja Wouthuysenin muunnoksia käyttämällä saadun Hamiltonin spin-orbitaaliosan muodon kanssa. Tämän tekijän puuttuminen johtuu siitä, että elektronin magneettisen momentin muuttamisen yhtälö on totta vain, jos järjestelmä 2 ei pyöri, muuten tämän yhtälön, Thomas-precession vuoksi, pitäisi näyttää tältä.

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\times {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\times {\mathbf S},

missä on Tomoksen pyörimiskulmanopeus . $\omega _{{T}}$

Atomissa olevaa elektronia kiihdytetään suojatulla Coulombin kentällä, joten Tomoksen kulmanopeutta kuvaa relaatio

\omega _{{T))\noin {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\ osittainen r))}[{\mathbf r}\times {\mathbf p}]

Näin ollen spin-kiertoradan vuorovaikutuksen Hamiltonin muoto on:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\partial r))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ kertaa {\mathbf p},

Mikä on täsmälleen sama kuin edellinen tulos.

Katso myös

Rashba vaikutus

Muistiinpanot

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. Spin 1/2 -hiukkasten Dirac-teoriasta ja sen ei-relativistisesta rajasta // Phys.Rev . : lehti. - 1950. - Voi. 78 . — s. 29-36 . - doi : 10.1103/PhysRev.78.29 .

Kirjallisuus

Stepanov N. F. Kvanttimekaniikka ja kvanttikemia. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 s. -5000kappaletta. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. Magnetismin kvanttiteoria / Per. englannista. — 2. painos, korjattu. ja. lisätä. — M.: Mir , 1985. — 304 s.
Björken JD , Drell S.D. Relativistinen kvanttiteoria. Osa 2. - IO NFMI, 2000. - 296 s.
Jackson J. Klassinen sähködynamiikka. — M.: Mir , 1965. — 703 s.