Jakelun konvergenssi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12.1.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Jakauman konvergenssi todennäköisyysteoriassa on eräänlainen satunnaismuuttujien konvergenssi .

Määritelmä

Olkoon annettu todennäköisyysavaruus ja sille määritellyt satunnaismuuttujat . Jokainen satunnaismuuttuja indusoi todennäköisyysmittauksen , jota kutsutaan sen jakaumaksi . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ $\mathbb {R} ^{m}$

Satunnaismuuttujat konvergoivat jakaumassa satunnaismuuttujaksi, jos jakaumat konvergoivat heikosti jakaumaan , eli $X_n$ $X$ ${\mathbb {P}}^{{X_{n}}}$ $\mathbb {P} ^{X}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{ X_{n}}}(dx)=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}( dx)

mille tahansa jatkuvalle rajalliselle [1] [2] funktiolle . $f:{\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}$

Muistiinpanot

Käyttämällä Lebesguen integraalimitan muutoslausetta viimeinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)

Jakeluraja ei ole ainutlaatuinen. Jos kahden satunnaismuuttujan jakaumat ovat identtisiä, ne joko ovat tai eivät ole rajana satunnaismuuttujien sarjan jakautumiselle.

Jakauman konvergenssin ominaisuudet

Satunnaismuuttujat konvergoivat jakautumisessa, jos niiden jakaumafunktiot konvergoivat rajajakaumafunktioon viimeksi mainitun kaikissa jatkuvuuspisteissä : $X_n$ $X$ $F_{{X_{n}}}$ $F_{X}$

F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)

Jos kaikki määritelmän satunnaismuuttujat ovat ehdottoman jatkuvia ja niiden tiheydet konvergoivat:

\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)

melkein kaikkialla , sitten . Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa!

X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))))X

Todennäköisyyden konvergenssi (ja siten lähes varmasti ) konvergenssi tarkoittaa jakauman lähentymistä : $L^{p}$

X_{n}\kohde ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Rightarrow X_{n}\kohde ^{{\!\!\! \!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X

. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.

Katso myös

Slutskin lause

Muistiinpanot

↑ fi:Convergence_of_random_variables#Convergence_in_distribution
↑ fi:Convergence_of_measures#Weak_convergence_of_measures