Levin jatkuvuuslause

Levin teoreema todennäköisyysteoriassa on tulos, joka yhdistää satunnaismuuttujien ominaisfunktioiden pisteittäisen konvergenssin näiden satunnaismuuttujien konvergenssiin jakaumassa .

Sanamuoto

Olkoon satunnaismuuttujien sarja, jota ei välttämättä ole määritelty samassa todennäköisyysavaruudessa . Merkitään symbolilla satunnaismuuttujan ominaisfunktio , jossa . Sitten, jos jakelun , Ja on ominaista funktio , Sitten $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X_n$ $n\in \mathbb {N}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_{n}\to X$ $n\to\infty$ $\varphi (t)$ $X$

\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R}

Päinvastoin, jos , jossa on todellisen argumentin funktio, joka on jatkuva nollassa, niin on jonkin satunnaismuuttujan ominaisfunktio , ja $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi \in C(0)$ $\varphi (t)$ $X$

X_{n}\to X

jakelulla osoitteessa .

n\to\infty

Huomautus

Koska minkä tahansa satunnaismuuttujan ominaisfunktio on jatkuva nollassa, toisella lauseella on seuraava triviaali seuraus. Jos , missä on ominaisfunktio , ja on ominaisfunktio , niin jakauman mukaan at . Tämän tosiasian käyttöä jakauman konvergenssin todistamisessa kutsutaan joskus karakterististen funktioiden menetelmäksi . Karakteristen funktioiden menetelmä on tavallinen tapa todistaa klassinen Keskirajalause . $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_n$ $\varphi (t)$ $X$ $X_{n}\to X$ $n\to\infty$

Levin jatkuvuuslause

Sanamuoto

Huomautus

Katso myös