Lindemann-Weierstrassin lause

Lindemann-Weierstrassin lause , joka on yleistys Lindemannin lauseesta, todistaa suuren lukuluokan ylittävyyden. Lause sanoo seuraavaa [1] :

Jos ovat eri algebrallisia lukuja , jotka ovat lineaarisesti riippumattomia yli , niin ne ovat algebrallisesti riippumattomia yli , eli laajennuksen transsendenssin aste on $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $\mathbb {Q}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}(e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}})$ $n$

Usein käytetään toista vastaavaa formulaatiota [2] :

Kaikkien erillisten algebrallisten lukujen luvut ovat lineaarisesti riippumattomia algebrallisten lukujen alalla . $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\overline {{\mathbb {Q}}}$

Historia

Vuonna 1882 Lindemann osoitti, että se on transsendentaalinen mille tahansa ei-nolla- algebralle [3] , ja vuonna 1885 Karl Weierstrass osoitti yllä olevan yleisemmän väitteen. $e^{\alpha }$ $\alpha$

Lukujen e ja π ylittäminen seuraa helposti Lindemann-Weierstrassin lauseesta .

Todiste π :n ylityksestä

Käytämme ristiriidan todistamistapaa . Oletetaan, että luku on algebrallinen. Silloin luku , jossa on imaginaariyksikkö , on myös algebrallinen, joten Lindemann-Weierstrassin lauseen mukaan luku on transsendentaalinen, mutta Eulerin identiteetin mukaan se on yhtä suuri kuin algebrallinen luku , mikä aiheuttaa ristiriidan. Siksi luku on transsendenttinen. $\pi$ $i\pi$ $i$ $e^{i\pi }$ $-yksi$ $\pi$

Muistiinpanot

↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass-lause (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Alan Baker. Transsendenttinen lukuteoria. - Cambridge University Press, 1975. - ISBN 052139791X . . Luku 1, Lause 1.4.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (saksa) // Mathematische Annalen. - bd. 20 (1882) . - S. 213-225 .

Kirjallisuus

Leng S. Algebra. - Moskova: Mir, 1968. - 564 s.
Shidlovsky A. B. "Diofantiiniapproksimaatiot ja transsendentaaliset luvut" (M. FIZMATLIT, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4