Alkulukulause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Alkulukujakauman teoreema on analyyttisen lukuteorian lause, joka kuvaa alkulukujen jakauman asymptotiikkaa , jonka mukaan alkulukujen jakaumafunktio (alkulukujen lukumäärä välillä ) kasvaa kasvaessa , eli: $\pi(n)$ $[1;n]$ $n$ ${\frac {n}{\ln n))$

{\frac {\pi (n)}{n/\ln n))\to 1

, kun

n\to \infty .

Karkeasti ottaen tämä tarkoittaa, että satunnaisesti valittu luku 1:stä todennäköisyyteen olla alkuluku on suunnilleen yhtä suuri kuin . $n$ ${\frac {1}{\ln n))$

Tämä lause voidaan myös muotoilla uudelleen kuvaamaan : nnen alkuluvun käyttäytymistä : siinä sanotaan, että $k$ $p_{k}$

p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty

(jäljempänä merkintä tarkoittaa sitä, että kun funktioiden argumentti pyrkii äärettömyyteen). $f\sim g$ $f/g\ to 1$

Tarkemmin sanottuna alkulukujakaumaa kuvaa integraalilogaritmifunktio . Jos Riemannin hypoteesi on totta , niin [1]

\pi (n)=\operaattorin nimi {Li} (n)+O({\sqrt {n))\ln n)

klo

x\rightarrow \infty .

Historia

Ensimmäisen tilastollisen säännönmukaisuuden alkulukujen järjestelyssä havaitsi Gauss . Kirjeessään Enckelle (1849) hän kertoi, että hän havaitsi jo vuonna 1792 tai 1793 puhtaasti empiirisesti, että alkulukujen tiheys "on keskimäärin lähellä arvoa, joka on kääntäen verrannollinen logaritmiin" [2] . Tähän mennessä Felkelin ja Vegan kokoamien alkulukutaulukoiden perusteella Legendre ehdotti (vuonna 1796), että alkulukujen jakaumafunktio (alkulukujen määrä, joka ei ylitä x ) voitaisiin approksimoida seuraavasti: $\pi(x)$

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B))

jossa Gauss mainitussa kirjeessä arvostelee Legendren kaavaa ja ehdottaa heuristista päättelyä käyttäen toista approksimoivaa funktiota - integraalilogaritmia : $B\noin 1{,}08366.$

{\mathrm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx

Gauss ei kuitenkaan julkaissut tätä olettamusta missään. Sekä Legendren että Gaussin approksimaatiot johtavat samaan oletettuun funktioiden asymptoottiseen ekvivalenssiin ja edellä esitettyyn, vaikka Gaussin approksimaatio osoittautuukin paljon paremmaksi, jos virhettä arvioitaessa otetaan huomioon funktioiden ero niiden suhteen sijaan. $\pi(x)$ $x/\ln(x)$

Kahdessa artikkelissaan, 1848 ja 1850 , Chebyshev todistaa [3] , että suhteen ylä- ja alarajat

{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad

(yksi)

ovat sisällä , ja myös, että jos suhteen (1) raja on olemassa, se on yhtä suuri kuin 1. Myöhemmin (1881) J. J. Sylvester kavensi rajan sallittua väliä 10 %:sta 4 %:iin. $0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$

Vuonna 1859 ilmestyi Riemannin teos , jossa tarkasteltiin ( jota Euler esitteli todellisen argumentin funktiona) ζ -funktio kompleksialueella ja liitettiin sen käyttäytyminen alkulukujakaumaan. Tämän työn ideoita kehittäessään Hadamard ja de la Vallée Poussin osoittivat vuonna 1896 samanaikaisesti ja itsenäisesti lauseen alkulukujen jakautumisesta.

Lopulta vuonna 1949 ilmestyi Erdős - Selbergin todistus, joka ei käytä monimutkaista analyysiä .

Todistuksen yleinen kulku

Uudelleenmuotoilu Tšebyshevin psi-funktion mukaan

Päättelyn yleinen alkuvaihe on alkulukujen jakautumislain uudelleenmuotoilu Tšebyshevin psi-funktiolla , joka määritellään

\psi (x)=\sum _{{p^{k}\leq x}}\log p,\qquad \qquad (*)

toisin sanoen Chebyshev psi-funktio on Mangoldt-funktion summa :

\psi (x)=\sum _{{n\leq x}}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\ ,k\geq 1,\quad p\,{\teksti{on alkuluku}}\\0,&{\teksti{muutoin}}.\end{cases}}

Nimittäin käy ilmi, että alkulukujen asymptoottinen jakauma vastaa sitä tosiasiaa

\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .

Tämä johtuu siitä, että logaritmi on "melkein vakio" suurimman osan aikavälistä ja neliöiden, kuutioiden jne. osuus summasta (*) on mitätön; siksi lähes kaikki lisätyt logaritmit ovat suunnilleen yhtä suuria kuin , ja funktio käyttäytyy asymptoottisesti samalla tavalla kuin . $[1,n]$ $\ln s$ $\ln x$ $\psi(x)$ $\pi (x)\cdot \ln x$

Klassinen päättely: siirtyminen Riemannin zeta-funktioon

Kuten Eulerin henkilöllisyydestä seuraa ,

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s))))

Mangoldt-funktiota vastaava Dirichlet-sarja ("generoiva funktio") on miinus zeta-funktion logaritminen derivaatta:

\sum _{n}\Lambda (n)n^{{-s}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s))).

Lisäksi funktion 0:n oikealla puolella oleva pystysuoraa viivaa pitkin oleva integraali on yhtä suuri ja 0 funktiolle . Siksi oikean ja vasemman puolen kertominen ja (siisti - virheelliset integraalit suppenevat vain ehdollisesti!) pystysuoraa linjaa pitkin oleva integraatio jättää täsmälleen summan vasemmalle puolelle . Toisaalta jäännöslausetta soveltamalla voimme kirjoittaa vasemman puolen jäännösten summana; kukin zeta-funktion nolla vastaa sen logaritmisen derivaatan ensimmäisen kertaluvun napaa, jonka jäännös on 1, ja ensimmäisen kertaluvun napaa pisteessä , ensimmäisen kertaluvun napaa, jonka jäännös on . $a^{s}/s$ $2\pi i$ $a>1$ $0<a<1$ ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ $ds$ $\lambda(n)$ $n\leqslant x$ $s = 1$ $(-yksi)$

Tämän ohjelman tiukka täytäntöönpano mahdollistaa [4] eksplisiittisen Riemannin kaavan[5] :

\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operaattorinimi {Re} (\rho )<1}{\frac {x ^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (** )

Tässä summaus suoritetaan zeta-funktion nollien yli, jotka sijaitsevat kriittisellä kaistalla , termi vastaa napaa nollassa ja termi vastaa zeta-funktion niin kutsuttuja "triviaaleja" nollia . $\rho$ $0<\operaattorin nimi {Re} (s)<1$ $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)))$ ${\frac {x^{s}}{s}}$ $-\log(1-x^{-2})/2$ $s=-2,-4,-6,\pisteet$

Zeta-funktion ei-triviaalien nollien puuttuminen kriittisen kaistan ulkopuolella edellyttää vaadittua väitettä (kaavan (**) summa kasvaa hitaammin kuin ). Lisäksi Riemannin hypoteesi sisältää "optimaalisen" arvion mahdollisista poikkeamista arvosta ja vastaavasti poikkeamista arvosta . $\psi (x)\sim x$ $x$ $\psi(x)$ $x$ $\pi(x)$ $x/\ln x$

Perustodiste: Erdős-Selbergin viimeistely

Aritmetiikan peruslause , kirjoitettu logaritmin ottamisen jälkeen

\ln n=\sum _{{p,k:\,p^{k}|n}}\ln p

on siis muotoiltu aritmeettisten funktioiden ja Dirichlet-konvoluution avulla

\ln =\Lambda *{\mathbf {1}},

jossa ja ovat aritmeettisia funktioita, argumentin logaritmia ja vastaavasti identtisiä yksiköitä. $\ln$ $\mathbf{1}$

Möbiuksen inversiokaava mahdollistaa siirtymisen oikealle puolelle : $\mathbf{1}$

\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)

missä on Möbius-funktio. $\mu$

Vasemman reunan summa (**) on haluttu funktio . Oikealla puolella Dirichlet-hyperbolakaavan soveltaminen mahdollistaa konvoluution summan pienentämisen summaan, jossa on logaritmin summa. Euler-Maclaurin-kaavan soveltaminen antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa muodossa $\psi$ $\sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),$ $L$ $L(n)$

L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln+\gamma +o(1),

missä on Eulerin vakio . Erottamalla tästä lausekkeesta termit, joilla on muoto sopivasti valitulle funktiolle F (eli, ) ja merkitsemällä loput R :llä, meillä on Möbius-inversion ansiosta $\gamma$ $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\oikea)$ $F(x)=x-\gamma -1$

\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).

Koska on vielä tarkistettava, että toisella termillä on muoto . Askerin lemman soveltaminen mahdollistaa tämän ongelman pelkistämisen lauseen vahvistamiseen missä on Mertens-funktio , Möbius-funktion summa. $F(x)\sim x,$ $härkä)$ $M(x)=o(x),$ $M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$

Möbius-funktion summien pienuus osajonossa seuraa funktioon sovelletusta inversiokaavasta . $1/n$

Lisäksi Möbius-funktio aritmeettisten funktioiden algebrassa (kerrannaiskonvoluutiooperaatiolla) täyttää ensimmäisen asteen "differentiaaliyhtälön"

\mu '=-\mu *\Lambda ,

missä on johdannainen tässä algebrassa (Dirichlet-sarjaan siirtyminen muuttaa sen funktion tavalliseksi johdannaiseksi). Siksi se myös täyttää toisen asteen yhtälön $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$

\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').

Tämän yhtälön "keskiarvon laskeminen" ja se tosiasia, että funktion summan asymptotiikka arvioidaan paremmin kuin summien asymptotiikka , antaa meille mahdollisuuden arvioida suhdetta tällaisen suhteen keskiarvojen kautta. Tällainen arvio yhdessä "pienyyden peräkkäisyydessä" ja antaa sinun saada halutun arvion . $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ $\lambda$ ${\frac {M(x)}{x}}$ $M(x)=o(x)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Moderni. prob. Mat., 2008, numero 11. - s. 30-31
↑ Derbyshire, 2010 , s. 178-179..
↑ Akhiezer N. I. P. L. Chebyshev ja hänen tieteellinen perintönsä.
↑ Luonnos Riemannin - von Mangoldtin eksplisiittisestä kaavasta . Haettu 15. marraskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 7. heinäkuuta 2010. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Explicit Formula Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Klassikot

Jacques Hadamard . Sur la jakelu des zéros de la fontction et ses conséquences arithmetiques $\zeta (s)$ . Sonni. soc. Matematiikka. France , nro 24 (1896), 199-220.
Charles de la Vallee Poussin . Recherces analytiques sur la theorie des nombres premiers. Ann. soc. sci. Bruxells , 1897.
Chebyshev P. L. Alkulukujen määrän määrittämisestä, joka ei ylitä tiettyä arvoa, 1848.
Chebyshev P. L. Alkuluvuista , 1850.
Bernard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. – 1859.

Moderni kirjallisuus

Derbyshire, John. Yksinkertainen pakkomielle. Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Diamond, G. Elementary Methods in the Study of the Distribution of Primes , Uspekhi Mat . Nauk , 45:2(272) (1990), 79-114.
Postnikov A. G., Romanov N. P. Yksinkertaistus A. Selbergin alkeistodistuksesta alkulukujen jakautumisen asymptoottisesta laista , Uspekhi Mat . Nauk , 10:4(66) (1955), s. 75-87
Erdős, P. Demonstration elémentaire du théorème sur la jakelu des nombres premiers. Scriptum 1, Center Mathematique, Amsterdam, 1949.
Selberg, A. Alkulukulauseen alkeistodistus, Ann. Matematiikka. 50, 305-313, 1949.

Linkit

Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)