Mertensin toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31. lokakuuta 2013 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 28 muokkausta .

Lukuteoriassa Mertensin funktio määritellään kaikille luonnollisille luvuille n kaavalla

M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)

missä on Möbius-funktio . Mertens-toiminto on nimetty Franz Mertensin mukaan . $\mu(k)$

Toisin sanoen on ero niiden neliövapaiden lukujen lukumäärän välillä , jotka eivät ylitä n ja sisältävät parillisen määrän alkutekijöitä, ja niiden samojen lukujen lukumäärän välillä, jotka sisältävät parittoman määrän alkutekijöitä. $M(n)$

Yllä oleva määritelmä voidaan laajentaa kaikkiin positiivisiin reaalilukuihin seuraavasti:

M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).

Ominaisuudet

$|M(x)|\leqslant x$ .
$M(x) = o(x)$ , mikä ei ole triviaali, mutta todistettu [1]
$M(x) = M([x])$ , missä on luvun kokonaislukuosa . $[x]$ $x$
Mertens-funktion sisältävä sarja identiteettejä saadaan yhtenäisesti seuraavan tosiasian perusteella:

Jos , niin seuraava identiteetti on totta: $c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d$ $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x)

, missä on sekvenssin summausfunktio .

C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n

c_n

Tämä antaa erityisesti seuraavat identiteetit, jotka ovat voimassa : $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1

on Mertensin funktion ominaisuus;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x)

, missä on toinen Chebyshev-funktio ;

\psi(x)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\sqrt{x})

;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!

, missä on Mangoldt-funktio ;

\lambda(k)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x]

, missä on luvun jakajien määrä .

\tau(k)

k

Mertensin funktiolla on hitaan muutosalueita sekä positiivisessa että negatiivisessa suunnassa, jotka kulkevat keski- ja ääriarvojen läpi, värähtelevät, ilmeisesti kaoottisella tavalla, kulkevat nollan läpi seuraavilla n: n arvoilla :

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 232, 235, 236, 248, 23,3,3 333 353 355 356 358 362 363 364 366 393 401 403 404 405 407 408 413 414 419 420 422 423 420 422 423 420 422 423 424 425 sekvenssi A4424 425 .

Koska Möbius-funktio voi ottaa vain arvoja , Mertens-funktio muuttuu hitaasti: kaikille n on totta, että . Mertensin arvelussa oletettiin vahvempaa rajoitusta: kaikille n :ille Mertensin funktion itseisarvo ei ylitä n : n juuria . Mertensin hypoteesi osoittautui kuitenkin vääräksi, kuten Andrew Odlyzko ja Herman te1985 . Riemannin hypoteesi vastaa heikomman kasvun hypoteesia , nimittäin . Koska suurimmat arvot kasvavat vähintään yhtä nopeasti kuin n: n juuri , tämä oletus arvioi Mertensin funktion kasvun melko tarkasti. Tässä O tarkoittaa suurta O :ta. ${\näyttötyyli -1,0,1}$ $|M(n)|\leqslant n$ $|M(n)|\leqslant {\sqrt {n))$ $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$ $M(n)$

M ( n ):n 160 ensimmäistä arvoa ovat sekvenssi A002321 OEIS : ssä

n	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16	17	kahdeksantoista	19	kaksikymmentä
M ( n )	yksi	0	-yksi	-yksi	-2	-yksi	-2	-2	-2	-yksi	-2	-2	-3	-2	-yksi	-yksi	-2	-2	-3	-3
n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	kolmekymmentä	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
M ( n )	-2	-yksi	-2	-2	-2	-yksi	-yksi	-yksi	-2	-3	- neljä	- neljä	-3	-2	-yksi	-yksi	-2	-yksi	0	0
n	41	42	43	44	45	46	47	48	49	viisikymmentä	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
M ( n )	-yksi	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-yksi	0	-yksi	-yksi
n	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
M ( n )	-2	-yksi	-yksi	-yksi	0	-yksi	-2	-2	-yksi	-2	-3	-3	- neljä	-3	-3	-3	-2	-3	- neljä	- neljä
n	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
M ( n )	- neljä	-3	- neljä	- neljä	-3	-2	-yksi	-yksi	-2	-2	-yksi	-yksi	0	yksi	2	2	yksi	yksi	yksi	yksi
n	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
M ( n )	0	-yksi	-2	-2	-3	-2	-3	-3	- neljä	-5	- neljä	- neljä	-5	-6	-5	-5	-5	- neljä	-3	-3
n	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
M ( n )	-3	-2	-yksi	-yksi	-yksi	-yksi	-2	-2	-yksi	-2	-3	-3	-2	-yksi	-yksi	-yksi	-2	-3	- neljä	- neljä
n	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
M ( n )	-3	-2	-yksi	-yksi	0	yksi	yksi	yksi	0	0	-yksi	-yksi	-yksi	-2	-yksi	-yksi	-2	-yksi	0	0

Näkymät

Integraalina

Käyttämällä Euler-tuotetta saamme sen

\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\ mu(n)}{n^s},

missä on Riemannin Zeta-funktio ja tulo otetaan kaikkien alkulukujen p . Sitten käyttämällä oikealla puolella olevaa Dirichlet-sarjaa Perron-kaavan kanssa , saamme: $\zeta (s)$

\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x),

jossa C on suljettu käyrä, joka ympäröi kaikkia juuria $\zeta(s).$

Mellin - muunnosta käytetään invertointiin

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,

joka on säilytetty osoitteessa . $\Re(s)>1$

Oletuksesta, että on olemassa vain ei-useita ei-triviaaleja juuria , saadaan "tarkka kaava" jäännöslauseen avulla : $\zeta (\rho )$

\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho)) {\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n }}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.

Weyl ehdotti, että Mertensin funktio täyttää likimääräisen funktionaalisen differentiaaliyhtälön

\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac {x}{t+1}\oikea) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),

missä on Heavisiden funktio , ovat Bernoullin luvut ja kaikki t :n derivaatat lasketaan kohdassa . $H(x)$ ${\näyttötyyli B_{2r))$ $t = 0$

Titchmarsh ( 1960 ) osoitti seuraavan kaavan, jossa on Möbius-funktion summa ja Riemannin zeta-funktion nollat muodossa

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)} {\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n)) {(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,

missä t kulkee ei-triviaalien nollien kaikkien kuvitteellisten osien läpi ja on yhdistetty Fourier-muunnoksen avulla, niin että $(g,h)$

\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.

Farey-sekvenssin summana

Toinen Mertens-funktion kaava

M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi ia},

missä on Fareyn järjestys n . $\mathcal{F}_n$

Tätä kaavaa käytetään Franel Landaun lauseen todistuksessa [2] .

Determinanttina

$M(n)$ on yhtä suuri kuin järjestyksen (0,1) -Redheffer-matriisin determinantti , jossa jos ja vain jos tai . $n$ $a_{ij}=1$ $j = 1$ $i\mid j$

Redheffer-matriisi syntyy, kun ratkaistaan seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \pisteet + x_n = 1 \\ x_2 + x_4 + \pisteet + x_{2[n/2]} = 1 \\ x_3 + x_6 + \pisteet + x_{3[n/ 3]} = 1 \\ \pisteet \\ \sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\ \dots\\ \end{cases}$

Järjestelmän matriisi on kolmiomaisen muotoinen, sillä päädiagonaalilla on sellaisia, joten järjestelmän determinantti on yhtä suuri kuin yksi ja järjestelmän ratkaisu on olemassa ja uniikki.

Systeemin ratkaisut ovat numeroita Mertens-funktion ominaisuuden vuoksi: $x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\pisteet,\,x_k = M(n/k),\,\pisteet, \,x_n = M(n/n) = 1,$ $\sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1$

Ratkaisemalla järjestelmän Cramerin säännön mukaan ja ottaen huomioon, että järjestelmän determinantti on yhtä suuri kuin 1, saadaan se yhtä suuri kuin järjestelmämatriisista saadun matriisin determinantti korvaamalla ensimmäinen sarake yksikkösarakkeella , ja tämä on Redhefferin järjestysmatriisi . $x_{1}$ $M(n)$ $n$

Laskenta

Mertensin funktio on laskettu n: n kasvaville alueille .

henkilö	vuosi	raja
Mertens	1897	10 4
von Sterneck	1897	1,5⋅10 5
von Sterneck	1901	5⋅10 5
von Sterneck	1912	5⋅10 6
Neubauer	1963	10 8
Cohen ja mekko	1979	7,8⋅10 9
pukeutua	1993	10 12
Lyoen ja van de Lune	1994	10 13
Kotnik ja van de Lune	2003	10 14

Mertens-funktio kaikille kokonaisluvuille, jotka eivät ylitä N :ää, voidaan laskea ajassa . On olemassa perusalgoritmi, joka laskee eristetyn arvon ajassa . $O(N^{1+\varepsilon })$ $M(N)$ $O(N^{2/3+\varepsilon })$

Sovellukset

Alkulukujen jakautumista koskevan lauseen perustodistuksessaan Gelfond todistaa ja käyttää sitä tosiasiaa, joka seuraa luvusta . [yksi] $M(x)=o(x)$ $\pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\oikea)$

Muistiinpanot

↑ 1 2 A. O. Gelfand, Yu. V. Linnik. Analyyttisen lukuteorian perusmenetelmät. - Fizmatgiz, 1962.
↑ Edwards, Ch. 12.2

Kirjallisuus

E. K. Titchmarsh . Riemannin Zeta-funktion teoria. — IL, 1953.

Katso myös

Perronin kaava

Linkit

Edwards, HaroldRiemmannin Zeta-funktio (epämääräinen) . - Mineola, New York: Dover, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
F. Mertens, "Uber eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106 , (1897) 761–830.
A.M. Odlyzko ja Herman te Riele , " Disproof of the Mertens Conjecture ", Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357 , (1985) s. 138-160.
Weisstein, Eric W. Mertens toimii (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
OEIS A002321, katso kohdat REFERENSSIT ja LINKIT
Deleglise, M. ja Rivat, J. "Mobius-funktion summauksen laskeminen." koe. Matematiikka. 5, 291-295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447