Lause järjestelmän liikemäärän muutoksesta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. helmikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Lause järjestelmän liikkeen määrän (vauhdin) muutoksesta on yksi dynamiikan yleisistä lauseista [1] , on seurausta Newtonin laeista . Yhdistää liikkeen määrän ulkoisten voimien vauhtiin, jotka vaikuttavat järjestelmän muodostaviin kappaleisiin. Lauseessa tarkoitettu järjestelmä voi olla mikä tahansa mekaaninen järjestelmä, joka koostuu mistä tahansa kappaleesta [2] [3] .

Lauseen lause

Mekaanisen järjestelmän liikkeen määrä (liikemäärä) on arvo, joka on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään kuuluvien kappaleiden liikesuureiden (vauhti) summa. Järjestelmän kappaleisiin vaikuttavien ulkoisten voimien impulssi on kaikkien järjestelmän kappaleisiin vaikuttavien ulkoisten voimien impulssien summa.

Järjestelmän liikemäärän muutosteoreema toteaa [2] [3] :

Lause sallii yleistyksen ei-inertiaalisten viitekehysten tapaukseen . Tässä tapauksessa on tarpeen lisätä kannettavat ja Coriolis -inertiavoimat ulkoisiin voimiin [4] .

Todiste

Olkoon systeemi koostuva aineellisista pisteistä , joilla on massat ja kiihtyvyydet . Kaikki järjestelmän kehoihin vaikuttavat voimat voidaan jakaa kahteen tyyppiin: $N$ $mi}$ ${\vec a}_{i}$

Ulkoiset voimat ovat voimia, jotka vaikuttavat niihin kappaleisiin, jotka eivät sisälly tarkasteltavaan järjestelmään. Materiaalipisteeseen, jonka numero on i , vaikuttavien ulkoisten voimien resultanttia merkitään . $\vec F_i$
Sisäiset voimat ovat voimia, joiden kanssa itse järjestelmän kappaleet ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Voimaa, jolla piste, jonka numero on k , vaikuttaa pisteeseen, jonka numero on i , merkitään ja i :nnen pisteen voimaa k : nteen pisteeseen - . Ilmeisesti jos , niin sitten ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Käytössä olevaa merkintää käyttäen kirjoitetaan Newtonin toinen laki kullekin lomakkeen tarkastetulle aineelliselle pisteelle

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.

Kun otetaan huomioon tämä ja summataan kaikki Newtonin toisen lain yhtälöt, saadaan: $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d (m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

Lauseke on kaikkien järjestelmässä vaikuttavien sisäisten voimien summa. Newtonin kolmannen lain mukaan tässä summassa jokainen voima vastaa sellaista voimaa , joka täyttyy ja koska koko summa koostuu tällaisista pareista, summa itse on nolla. Näin ollen voi kirjoittaa $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Käyttämällä nimitystä järjestelmän liikemäärä , saamme $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ ${\vec {P}}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Kun otetaan huomioon ulkoisten voimien liikemäärän muutos , saadaan lauseke järjestelmän liikemäärän muutoksesta differentiaalimuodossa: $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$

d{\vec {P}}=d{\vec {R}.

Siten jokainen viimeksi saaduista yhtälöistä antaa meille mahdollisuuden väittää: järjestelmän liikemäärän muutos tapahtuu vain ulkoisten voimien vaikutuksesta, eivätkä sisäiset voimat voi vaikuttaa tähän arvoon.

Integroimalla saadun yhtälön molemmat osat mielivaltaisesti otetulla aikavälillä joidenkin ja välillä saadaan lauseke järjestelmän liikemäärän muutoksesta integraalimuodossa: $t_{1}$ $t_{2}$

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

missä ja ovat järjestelmän liikkeen määrän arvot ajanhetkellä ja vastaavasti , ja on ulkoisten voimien impulssi aikavälillä . Yllä olevan ja käyttöönotetun merkinnän mukaisesti, ${\vec {P}}_{1}$ ${\vec {P}}_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$ ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ ${\näyttötyyli t_{2}-t_{1}}$

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {F}}_{i}(t)dt.

Järjestelmän liikemäärän säilymislaki

Järjestelmän liikemäärän muutosta koskevasta lauseesta seuraa, että ulkoisten voimien puuttuessa (suljettu järjestelmä), samoin kuin kun kaikkien ulkoisten voimien summa on nolla, ja . Toisin sanoen suhde $d{\vec {P}}=0$ ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$

{\vec {P}}=const.

Näin ollen johtopäätös on seuraava:

Tämä lausunto on järjestelmän liikemäärän säilymislain [2] [3] sisältö .

On tapauksia, joissa ulkoisten voimien summa ei ole nolla, mutta sen projektio mihin tahansa suuntaan on nolla. Silloin muutos järjestelmän liikkeen määrän projektiossa tähän suuntaan on myös nolla, eli kuten sanotaan, liikkeen määrä tähän suuntaan säilyy .

Järjestelmän tapaus, jossa on ihanteelliset kiinteät rajoitukset

Tapauksissa, joissa tutkimuksen kohteena on vain järjestelmän liike, eivätkä sidosten reaktiot kiinnosta, he käyttävät ideaalisten stationaaristen sidosten järjestelmän lauseen muotoilua, joka johdetaan ottaen huomioon d' Alembert-Lagrangen periaate .

Lause liikemäärän muutoksesta systeemissä, jossa on ihanteelliset stationaariset rajoitukset, toteaa [5] :

"Aktiivinen" suhteessa voimiin (alla ne on merkitty kaavoissa symbolilla) tarkoittaa "ei ole sidosreaktioita". ${\näyttötyyli ^{a))$

Todellakin, ehdon mukaan kaikki järjestelmän pisteet sallivat milloin tahansa siirtymisen kiinteän akselin suuntaisesti . Korvaamalla yleisessä dynamiikan yhtälössä :lla saadaan : $\delta x$ $x$ $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {i}}\delta x$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\ vec{i}}\delta x

tai

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}} _{k}){\vec {i))

tai

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}

vihdoin löydämme:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

Toiseksi viimeisessä yhtälössä aktiivisten voimien summa sisältää ulkoiset aktiiviset ja sisäiset aktiiviset voimat. Sisäisten aktiivisten voimien geometrinen summa, pareittain yhtä suurena ja vastakkaisena, on kuitenkin yhtä suuri kuin nolla, joten vain ulkoiset (lisäkuvake englanninkielisestä ulkoisesta ) aktiiviset voimat esitetään lopullisessa yhtälössä. ${\vec {F}}_{k}^{a}$ ${\näyttötyyli ^{e))$

Historia

Liikemäärän säilymisen laista Isaac Newton kirjoitti kuuluisassa teoksessaan " Mathematical Principles of Natural Philosophy ", joka julkaistiin vuonna 1687 : päinvastoin, ei muutu kappaleiden vuorovaikutuksesta toistensa kanssa” [6] . Kommentaattori huomauttaa tämän muotoilun yhteydessä, että vaikka se käsittelee vain yhtä suoraa pitkin liikkuvien kappaleiden tapausta, I. Newton, kuten hänen muut lausunnot samassa kirjassa osoittavat, hänen näkemyksensä ei rajoittunut tähän erityistapaukseen. [6] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Targ S. M. Dynamics // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-ilmiö - Pitkät rivit. - S. 616-617. — 707 s. - 100 000 kappaletta.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Lyhyt kurssi teoreettisesta mekaniikasta. - M . : Korkeakoulu, 1995. - S. 280-284. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Markeev A.P. Teoreettinen mekaniikka. - M .: Chero, 1999. - S. 157-159. — 572 s.
↑ Zhirnov N. I. Klassinen mekaniikka. — Sarja: oppikirja pedagogisten laitosten fysiikan ja matematiikan tiedekuntien opiskelijoille. - M., Enlightenment , 1980. - Levikki 28 000 kappaletta. - Kanssa. 260
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Klassisen mekaniikan perusteet. - M .: Higher School, 1999. - S. 221. - ISBN 5-06-003587-5
↑ 1 2 Isaac Newton . Luonnonfilosofian matemaattiset periaatteet = Philosophia naturalis principia matematica / A. N. Krylovin käännös latinasta ja muistiinpanot . - M .: Nauka, 1989. - S. 45. - 688 s. - (tieteen klassikot). - ISBN 5-02-000747-1 .