Kondensaatiopiste

Kondensaatiopiste on vahvistettu versio rajapisteestä ja yleisen topologian akkumulaatiopisteen erityinen versio : tietylle topologisen avaruuden joukolle pistettä kutsutaan kondensaatiopisteeksi, jos jokin naapurustossa sisältää lukemattoman määrän pisteitä. settiä . $A$ $X$ $x\in X$ $x$ $A$

Joukon - - kondensaatiopisteiden joukko on suljettu , ja jos se on ei-tyhjä, se on täydellinen joukko ja sillä on jatkuvuuden kardinaliteetti . Joukon sulkemisen kondensaatiopisteiden joukko on sama kuin itse joukon kondensaatiopisteiden joukko: . Kahden joukon kondensaatiopistejoukkojen liitto osuu yhteen alkuperäisten joukkojen liiton kondensaatiopisteiden joukon kanssa: . Joukolle avaruudessa , jossa on toinen laskettavuusaksiooma , ja ovat laskettavissa . Kaksi viimeistä ominaisuutta viittaavat suoraan Cantor-Bendixonin lauseeseen yleisessä topologisessa versiossa (alunperin todistettu todellisen suoran osajoukoille). $A$ ${\displaystyle A^{\circ ))$ ${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$ $(A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }$ $A$ $X$ $A\setminus A^{\circ }$ $(A^{\circ })^{\circ }=A$

Numeerisen osajoukon kaikki rajapisteet ovat kondensaatiopisteitä; jokainen Cantorin epäjatkuvuuden piste on sen kondensaatiopiste. Laskettavalla kondensaatiopisteiden joukolla ei voi olla (samaan aikaan voi olla rajapisteitä , esimerkiksi kaikki reaaliviivan pisteet ovat rajapisteitä rationaalisten lukujen laskettavalle joukolle). $\mathbb {Q}$

Ernst Lindelöf määritteli ja tutki euklidisten avaruuksien aliavaruuksien kondensaatiopisteet vuonna 1903 , ja vuonna 1914 Felix Hausdorff laajensi käsitteen yleisiin topologisiin tiloihin.

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: Science , 1977. - S. 104, 143, 159-160. — 368 s.
Engelking R. Yleinen topologia . - M .: Mir , 1986. - S. 102 . — 752 s.
Kondensaatiopiste - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . B. A. Efimov