Tarkka Euler-sekvenssi

Tarkka Euler-sekvenssi on tietty tarkka pyörän sarja n - ulotteisessa projektioavaruudessa renkaan päällä . Se osoittaa, että projektiivisen avaruuden kotangenttikimppu on stabiilisti isomorfinen ( n + 1) -kertaiselle tautologisten nippujen summalle (katso Serren kierre lyhenne ). ${\mathcal {O}}(-1)$

Sanamuoto

Kommutatiiviselle renkaalle A on olemassa tarkka pyöräsarja

0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0.

Sen todistamiseksi riittää, että määritellään homomorfismi , jossa ja 1:n potenssiin, surjektiivinen potenssien suhteen ja tarkistetaan, että paikallisesti ( n + 1):nnessä standardissa affiinissa kaaviossa sen ydin on isomorfinen suhteellisten differentiaalien moduulin kanssa . [yksi] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i))$ $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $e_i = 1$ $\geq 1$

Geometrinen tulkinta

Oletetaan, että rengas A on kenttä k .

Yllä oleva tarkka järjestys vastaa sarjaa

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

jossa viimeinen nollasta poikkeava termi on tangenttikynä.

Tarkastellaan V - ( n + 1) -ulotteista vektoriavaruutta k :n yli ja selitä tarkka sekvenssi

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V \to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0

Tämä sekvenssi on helpoimmin ymmärrettävissä tulkitsemalla keskitermi 1-homogeenisten vektorikenttien nipuksi vektoriavaruudessa V. Tästä nipusta on merkittävä osa - Eulerin vektorikenttä - tautologisesti määriteltynä vertaamalla vektoriavaruuden pistettä tätä pistettä vastaavaan vektoriin, joka on siirretty tässä pisteessä tangenttiavaruuteen.

Tämä vektorikenttä on säteittäinen siinä mielessä, että se katoaa 0-homogeenisille funktioille, toisin sanoen funktioille, jotka ovat invariantteja nollaan keskitetyn homoteetin alaisena.

Funktio (määritelty jossain avoimessa joukossa) indusoi 0-homogeenisen funktion V :lle (jälleen osittain määritelty). Saadaan 1-homogeeniset vektorikentät kertomalla Eulerin vektorikenttä tällaisilla funktioilla. Tämä määrittää ensimmäisen näytön. $\mathbb {P} (V)$

Toinen kartoitus liittyy johdannaisten käsitteeseen, joka vastaa vektorikenttien käsitettä. Muista, että projektiivisen avaruuden avoimessa osajoukossa U oleva vektorikenttä voidaan määritellä tälle avoimelle joukolle määriteltyjen funktioiden johdannaiseksi. Kun otetaan huomioon V :n esikuva , tämä vastaa esikuvan U johtamista säilyttäen 0-homogeeniset funktiot. Mikä tahansa vektorikenttä päällä voidaan saada tällä tavalla, ja tuloksena olevan kuvauksen ydin koostuu täsmälleen säteittäisistä vektorikentistä. $\mathbb {P} (V)$ $\mathbb {P} (V)$

Projektiivisen avaruuden kanoninen rivinippu

Siirtyessämme korkeampiin ulkovoimiin huomaamme, että projektiivisen avaruuden kanoninen nippu on muotoa

\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(- (n+1))

Erityisesti projektiiviset tilat ovat Fanon lajikkeita , koska kanoninen viivanippu on anti- ample .

Muistiinpanot

↑ Hartshorne, 1981 , Lause II.8.13.

Kirjallisuus

Hartshorne R. Algebrallinen geometria / käänn. englannista. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.