Frenet-kolmio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Frenetin tai Frenet - Serretin kehys tai kolmio , joka tunnetaan myös nimellä luonnollinen , mukana , on ortonormaali kehys kolmiulotteisessa avaruudessa, joka syntyy tutkittaessa kaksisäännöllisiä käyriä, eli sellainen, että ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat lineaarisesti riippumattomia mikä tahansa kohta.

Määritelmä

Olkoon mielivaltainen luonnollisesti parametroitu bisäännöllinen käyrä euklidisessa avaruudessa . Frenet-kehys ymmärretään vektoreiden , , kolmoiskappaleena , joka liittyy jokaiseen kaksisäännöllisen käyrän pisteeseen , jossa $r(s)$ $\tau$ $\nu$ $\beeta$ $r(s)$

$\tau ={\piste {r}}(s)$ on yksikkötangenttivektori ,
$\nu ={\frac {{\ddot {r}}(s)}{||{\ddot {r}}(s)||}}$ on päänormaalin yksikkövektori ,
$\beta =[\tau ,\nu ]$ on käyrän binormaalin yksikkövektori annetussa pisteessä.

Ominaisuudet

Jos on käyrän luonnollinen parametri, niin vektorit liittyvät toisiinsa suhteilla: $s$ $s$ ${\displaystyle {\tau },{\nu },{\beta ))$ ${\begin{aligned}{\dot {\tau }}&=k\cdot {\nu },\\{\dot {\nu }}&=-k\cdot {\tau }+t\ cdot {\beta },\\{\piste {\beta }}&=-t\cdot {\nu },\end{aligned}}$

kutsutaan Frenetin kaavoiksi . Määrät

k=||{\ddot {\gamma }}(s)||,\quad t=-\langle {\dot {\beta }},\;{\nu }\rangle

kutsutaan vastaavasti käyrän kaarevuudeksi ja vääntönä tietyssä pisteessä.

Toiminnot ja määrittävät käyrän avaruuden liikkeeseen asti. $k(s)$ $t(s),$
- Lisäksi, jos , Tällainen käyrä on olemassa. $k(s)>0$

Nopeus ja kiihtyvyys luonnollisen kolmion akseleilla

Frenetin kolmikulmalla on tärkeä rooli pisteen kinematiikassa, kun se kuvaa sen liikettä "saatavilla akseleilla". Annetaan materiaalipisteen liikkua mielivaltaista bisäännöllistä käyrää pitkin. Silloin pisteen nopeus on ilmeisesti suunnattu tangenttivektoria pitkin . Erottamalla ajan suhteen löydämme kiihtyvyyden lausekkeen: . Vektorissa olevaa komponenttia kutsutaan tangentiaalikiihtyvyydeksi , se kuvaa pisteen nopeusmoduulin muutosta. Vektorin komponenttia kutsutaan normaalikiihtyvyydeksi . Se näyttää kuinka pisteen liikesuunta muuttuu. ${\displaystyle {v}=v{\tau ))$ ${a}={\piste {v}}{\tau }+v^{2}k{\nu }$ ${\näyttötyyli {\tau ))$ ${\näyttötyyli {\nu ))$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Tasokäyriä kuvattaessa otetaan usein käyttöön ns. orientoidun kaarevuuden käsite.

Antaa olla mielivaltainen luonnollisesti parametroitu tasosäännöllinen käyrä. Tarkastellaan yksikkönormaalien perhettä siten, että kaksi muodostaa oikean perustan jokaisessa pisteessä . Käyrän suunnattua kaarevuutta pisteessä kutsutaan numeroksi . Tehtyjen oletusten mukaan tapahtuu seuraava yhtälöjärjestelmä, jota kutsutaan suuntautuneen kaarevuuden Frenet-kaavoiksi ${\näyttötyyli \gamma (s)}$ ${\nu _{o))$ $({\tau },{\nu _{o)))$ $\mathbf {\gamma } (s)$ $\gamma$ $s$ $k_{o}=\langle {\ddot {\gamma }}(s),\;{\nu _{o}}\rangle$

${\dot {\tau }}=k_{o}{\nu _{o}}\quad {\dot {\nu _{o}}}=-k_{o}{\tau }$ .

Analogisesti kolmiulotteisen tapauksen kanssa muodon yhtälöitä kutsutaan tasosäännöllisen käyrän luonnollisiksi yhtälöiksi ja ne määrittävät sen täysin. $k_{o}=f(s)$

Katso myös

Darboux-kolmiokolmio on samanlainen rakenne käyrälle pinnalla.

Kirjallisuus

Toponogov, V. A. Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .