Dirac-yhtälö grafeenille

Grafeenin kvasihiukkasilla on lineaarinen dispersiolaki lähellä Dirac-pisteitä ja niiden ominaisuudet kuvataan täydellisesti Dirac-yhtälöllä [1] . Itse Dirac-pisteet ovat Brillouin-vyöhykkeen reunoilla , joissa elektroneilla on suuri aaltovektori. Jos jätämme huomiotta laaksojen väliset siirtoprosessit, niin tämä suuri vektori ei vaikuta kuljetukseen millään tavalla matalaenergisessä approksimaatiossa, joten Dirac-yhtälössä esiintyvä aaltovektori lasketaan Dirac-pisteistä ja Dirac-yhtälö kirjoitetaan erilaisille. laaksot erikseen.

Johtopäätös

Bändin rakenne

Jos otamme huomioon vain lähimpien naapurien panoksen energiakaistojen muodostumiseen , niin Hamiltonin vahvasti sitovassa approksimaatiossa kuusikulmainen kidehila saa muodon

H=-t\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}} _{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{{i\in \Lambda _{B}}}\ summa _{{j=1}}^{3}b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\ textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)

missä on lähimpien naapurien aaltofunktioiden päällekkäisyysintegraali, joka määrittää myös siirtymän ("hypyn") todennäköisyyden viereisten atomien (eri alihilojen atomien), luomisoperaattoreiden ja kiteen kolmioalihiloihin vaikuttavien operaattoreiden välillä ja vastaavasti ja ovat annihilaatiooperaattoreita . Ne täyttävät fermioneille tavalliset antikommutaatiosuhteet : $t$ $a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$ $b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i})$ $\Lambda _{A}$ $\Lambda _{B}$ $a({\textbf {r}}_{i})$ $b({\textbf {r}}_{i})$

[a({\textbf {r}}_{i}),a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_{{+ }}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{{i^{{'}}}})]_ {{+}}=\delta _{{ii^{{'}}}}.\qquad (1.2)

Kuusi vektoria ja osoittavat valitun keskusatomin lähimpiin solmuihin ja ovat relaatioiden antamia ${\textbf {u}}_{i}$ ${\textbf {v}}_{i}$

{\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\ frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\qquad (1.3)

{\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d, {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}d\right).\qquad (1.4)

Luomisen ja tuhoamisen operaattoreiden Fourier -muunnos

a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^ {{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_ {i})=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{{i{\textbf {k}} {\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)

jossa integrointi aaltovektorien yli suoritetaan ensimmäisestä Brillouinin vyöhykkeestä , antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa Hamiltonin muodossa

H=\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{{\dagger }} ({\textbf {k))){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)

jossa seuraavat nimitykset hyväksytään:

{\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf { k)))\oikea)^{{T)),\,{\tilde {\psi }}^{{\tikari }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a} }^{{\dagger }}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{{\dagger }}({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)

{\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{ \textbf {u}}_{j}}}\\-t\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_ {j}}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)

Lauseke (1.6) voidaan saada korvaamalla (1.5):llä (1.1). Harkitse summaa

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}a^{{\dagger }}({\textbf {r}}_{i} )b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)

joka relaatioiden (1.5) avulla voidaan kirjoittaa muodossa

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}\sum _{{j=1}}^{3}\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k }{(2\pi )^{2))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}}{\tilde {a\dagger }}({ \textbf {k)))\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}e^{{ i{\textbf {k}}^{{'}}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}})}}{\tilde {b}}( { \textbf {k}}^{{'}}),\qquad (1.10)

tai

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k^{{'}}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{{i\in \Lambda _{A))}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {r }}_{i}}}\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}^{{'}}{\textbf {u}}_{j ))}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{{'}}).\qquad (1.11)

Suhteen käyttäminen

\sum _{{i\in \Lambda _{A}}}e^{{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^ {{'}}{\textbf {r}}_{i}}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{{'}}-{\textbf {k}}\oikea),\qquad (1,12)

saamme lausekkeen yli integroinnin jälkeen ${\textbf {k}}^{{'}}$

\int \limits _{{BZ}}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}} )\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}{\tilde {b}}({\ textbf {k}}).\qquad (1.13)

Hamiltonin (1.1) toisen summan samanlainen muunnos johtaa haluttuun tulokseen (1.6).

Hamiltonin (1.8) ominaisarvot ottavat arvot

E=\pm t{\sqrt {\sum _{{j=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}}\sum _{{j^{{'}}=1}}^{3}e^{{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{{j^{{'}}}}} }}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{{-ik_{x}d}}+2e^{{ik_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{{ik_{x}d}}+2e^{{-ik_{x}d/2}}\cos {{ \frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right)}}=

\pm t{\sqrt {\left(1+2e^{{i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\ oikea)\left(1+2e^{{-i3k_{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}dk_{y}}\right))) =\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\ frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}}{2}}k_{y}d\right)\right]} },\qquad (1,14)

jotka määräävät grafeenin nauharakenteen. [2]

Pienen energian likiarvo

Vyöhykkeet (1.14), joissa on positiivinen energia ( elektronit ) ja negatiivinen energia ( aukot ), koskettavat kuudessa pisteessä, joita kutsutaan Dirac-pisteiksi, koska niiden lähellä energiaspektri saa lineaarisen riippuvuuden aaltovektorista. Näiden pisteiden koordinaatit ovat

\left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\oikea),\,\vasen({\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\ oikea),\,\left({\frac {2\pi }{3d)),-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left (-{\frac {2\pi }{3d)),{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2 \pi }{3d)),{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)

Kaksi riippumatonta laaksoa voidaan valita siten, että valenssikaistojen kärjet ovat Dirac-pisteissä koordinaatteineen

{\textbf {K}}^{{\pm }}=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2 )

Tarkastellaan Hamiltonin (1.8) diagonaalista poikkeavaa elementtiä . Laajennataan sitä lähellä Dirac-pisteitä (2.2) pienen parametrin d suhteen ${\tilde {H}}_{{12}}$

\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}{\tilde {H}}_{{12}}|_{{{\textbf {k}}={\textbf {K} }^{{\pm }}+{\boldsymbol {\kappa }}}}=-t\lim _{{d\rightarrow 0}}d^{{-1}}\left(e^{{-i \kappa _{x}d}}+2e^{{i\kappa _{x}d/2}}\cos {{\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}}\left( \pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)

Kohdalle , laajeneminen lasketaan samalla tavalla, ja tuloksena voimme kirjoittaa Hamiltonin kvasihiukkasille lähellä Dirac-pisteitä muodossa ${\tilde {H}}_{{21}}$

\left({\begin{array}{cc}H^{{+}}&0\\0&H^{{-}}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)

missä on ferminopeus ja $v_{F}=3td\hbar ^{{-1}}/2$

\alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\, \alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2.5)

Tässä ja ovat Pauli-matriisit . $\sigma ^{1}$ $\sigma ^{2}$

Jos nyt siirrytään koordinaattiesitykseen tekemällä Hamiltonin (2.4) Fourier-muunnos, niin päästään Hamiltonin yhtälöön grafeenin kvasihiukkasten Diracin yhtälössä .

H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)

Grafeenin Dirac-yhtälön ratkaisu on muodon nelikomponenttinen sarake $H\psi =E\psi$

\psi =(\psi _{A}^{{+}},\psi _{B}^{{+}},\psi _{A}^{{-}},\psi _{B}^ {{-}})^{{T}},\qquad (2.7)

jossa indeksit ja vastaavat kiteen kahta alihilaa ja merkit "+" ja "-" osoittavat ei-ekvivalenttia Dirac-pistettä k-avaruudessa. [2] $A$ $B$

Koordinaattijärjestelmän mielivaltainen kierto

Koska dispersion lain ei pitäisi riippua matalaenergisessa approksimaatiossa kidehilan orientaatiosta suhteessa koordinaattijärjestelmään ja grafeenin Dirac-yhtälöllä ei ole tätä ominaisuutta, herää kysymys Dirac-yhtälön yleisestä muodosta, kun koordinaattijärjestelmää kierretään. On selvää, että ainoa ero tietyn koordinaatiston Dirac-yhtälöiden ja kulman verran kierretyn koordinaattijärjestelmän välillä , mikäli dispersiolaki säilyy, on vaihekertoimien lisääminen. Laskelmat johtavat Hamiltonin muotoon vapaille hiukkasille [3] $\alpha$

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{{\pm i\alpha }}(i\partial _{x}\pm \osittinen _{ y})\\e^{{\mp i\alpha }}(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad ( 3.1)

josta saat kaikki kirjallisuudessa käytetyt yhtälöt (vastakkaisten K-pisteiden valinnan mukaan).

Kirjallisuudessa on Hamiltonin muodossa [4]

H_{{\pm }}=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{ x}+i\osittainen _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)

joka saadaan kohdasta (3.1), jos otetaan kulma . $\alpha =-\pi /2$

Dirac-yhtälön ratkaisu

Harkitse Hamiltonin yhtä laaksoa

H_{{+}}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i {\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)

Aaltofunktio on esitetty spinorina, joka koostuu kahdesta komponentista

\Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)

Tämä funktio täyttää seuraavan yhtälön vapaille hiukkasille

\left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x))+{\frac {\partial \chi }{\partial y)) \right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x))+{\frac {\partial \phi }{\partial y} }\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)

Korvaamalla toisen yhtälön ensimmäiseen, saamme aaltoyhtälön

{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2))}=-{ \frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)

jonka ratkaisu on tasoaalto

\phi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.5)

Ominaisarvot ovat jatkuvan lineaarisen spektrin muotoisia

E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)

Aaltofunktion toinen komponentti on helppo löytää korvaamalla löydetty ratkaisu toiseen yhtälöön (4.3).

\chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}e^ {{ik_{x}x+ik_{y}y}}=-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{{\ sqrt {2}}}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.7)

Siksi laakson aaltofunktio voidaan kirjoittaa muodossa $K^{{+}}$

\Psi ={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{{i\theta }}{\frac {\hbar vk_{F}}{ E}}\end{pmatrix}}e^{{ik_{x}x+ik_{y}y}}.\qquad (4.8)

Kirjallisuus

Lozovik Yu.E. , Merkulova S.P., Sokolik A.A. Kollektiiviset elektroniikkailmiöt grafeenissa //Phys. - 2008. -T. 178,nro 7. —S. 757–776.

Linkit

↑ Novoselov KS et ai. "Massattomien Dirac-fermionien kaksiulotteinen kaasu grafeenissa", Nature 438 , 197 (2005) doi : 10.1038/nature04233
↑ 1 2 Sitenko Yu. A., Vlasii ND Topologisella vialla varustetun grafeenin elektroniset ominaisuudet Nucl. Phys. B 787 , 241 (2007) doi : 10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Preprint
↑ Ando T. "Teoria elektroniikkatiloista ja kuljetuksesta hiilinanoputkissa" J. Phys. soc. Jpn. 74 , 777 (2005) doi : 10.1143/JPSJ.74.777
↑ Gusynin V.P., et. al. Grafeenin AC-johtavuus: tiukasti sitoutuvasta mallista 2+1-ulotteiseen kvanttielektrodynamiikkaan Int. J. Mod. Phys. B 21 , 4611 (2007) doi : 10.1142/S0217979207038022