Syntymä- ja tuhooperaattorit

Luomis- ja tuhoutumisoperaattorit ovat matemaattisia operaattoreita , joita käytetään laajalti kvanttimekaniikassa , erityisesti kvanttiharmonisten oskillaattorien ja monihiukkasjärjestelmien tutkimuksessa [1] . Kvanttikenttäteoriassa kvantisoitujen kenttien aaltofunktioilla on operaattorimerkitys ja ne jakautuvat operaattoreihin hiukkasten luomista ja tuhoamista varten [2] . Annihilaatiooperaattori (yleensä merkitty ) vähentää hiukkasten määrää tietyssä tilassa yhdellä. Luontioperaattori (yleensä merkitty ) lisää hiukkasten määrää tietyssä tilassa yhdellä; se on konjugoitu annihilaatiooperaattoriin. Näitä operaattoreita käytetään aaltofunktioiden sijasta monilla fysiikan ja kemian aloilla ( toinen kvantisointi ). Luomisen ja tuhoamisen operaattoreiden käsitteen toi tieteeseen Paul Dirac [3] . ${\näyttötyyli {\hattu {a}}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

Luomis- ja tuhoamisoperaattorit voivat vaikuttaa eri tyyppisten hiukkasten tiloihin. Esimerkiksi kvanttikemiassa ja monikappaleteoriassa luomis- ja tuhoutumisoperaattorit vaikuttavat usein elektronisiin tiloihin. Ne voivat myös viitata erityisesti kvanttiharmonisen oskillaattorin tikapuuoperaattoreihin . Jälkimmäisessä tapauksessa lisäys (vähennys) -operaattori tulkitaan luomis (tuhoaminen) -operaattoriksi, joka lisää (poistaa) energiakvantin oskillaattorijärjestelmään (oskillaattorijärjestelmiin). Niitä voidaan käyttää edustamaan fononeja .

Bosonin luomis- ja tuhoamisoperaattoreiden matematiikka on sama kuin kvanttiharmonisten oskillaattoritikkaajien operaattoreille . Esimerkiksi samaan bosonitilaan liittyvien luomis- ja tuhoamisoperaattoreiden kommutaattori on yhtä suuri kuin yksi, kun taas kaikki muut kommutaattorit katoavat. Matematiikka on kuitenkin erilainen fermioneille , joissa käytetään antikommutaattoreita kommutaattorien sijaan [4] .

Määritelmä

Olkoon yksipartikkelinen Hilbert-avaruus (eli mikä tahansa Hilbert-avaruus, jonka katsotaan edustavan yksittäisen hiukkasen tilaa). ( Bosoninen KKS-algebra Hilbert-avaruuden yli on algebra, jossa on adjoint-operaattorit (merkitty * ), jotka on abstraktisti generoitu elementeillä , joissa kuuluu , ottaen huomioon suhteet: $H$ $H$ $a(f)$ $f$ $H$

[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0

[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,

rintaliivit ja ket -merkinnät .

Kuvauksen kohteesta KKS:n bosoniseen algebraan on oltava kompleksinen antilineaarinen . Konjugaatti elementtiin on , ja kuvaus on kompleksinen lineaarinen ] H . Siten sitä käytetään oman CCR-algebransa kompleksisena vektorialiavaruutena. Tämän algebran esityksessä elementti toteutetaan annihilaatiooperaattorina ja luomisoperaattorina. $a:f\to a(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$ $f\to a^{\dagger }(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$

Yleisessä tapauksessa KKS-algebra on ääretön. Jos otamme Banach-avaruuden täydennyksen, siitä tulee C*-algebra . KKS-algebra over liittyy läheisesti, mutta ei identtinen Weilin algebraan . $H$

Fermioneille (fermioninen) CAS-algebra over on rakennettu samalla tavalla, mutta sen sijaan käyttää antikommutaatiorelaatioita , nimittäin $H$

\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0

\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .

CAS-algebra on äärellisulotteinen vain, jos se on äärellisulotteinen. Jos otamme Banach-avaruuden täydennyksen (välttämätön vain äärettömän ulottuvuuden tapauksessa), siitä tulee algebra. CAS-algebra liittyy läheisesti Clifford-algebraan , mutta ei ole identtinen sen kanssa . $H$ $C^{*}$

Operaattorin fyysinen tarkoitus on tuhota tilassa oleva hiukkanen samalla kun se luo hiukkasen tilassa . $a(f)$ $|f\rangle$ $a^{\dagger }(f)$ $|f\rangle$

Vapaan kentän tyhjiötila on tila ilman hiukkasia, jolle on tunnusomaista: $\left|0\right\rangle$

a(f)\left|0\right\rangle =0.

Jos normalisoidaan niin , niin antaa hiukkasten lukumäärän tilassa . $|f\rangle$ $\langle f|f\rangle =1$ $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ $|f\rangle$

Luominen ja tuhoamisoperaattorit kvanttikenttäteorioissa

Kvanttikenttäteorioissa ja monikappaleongelmassa käytetään kvanttitilojen luomis- ja tuhoamisoperaattoreita ja . Nämä operaattorit muuttavat hiukkaslukuoperaattorin ominaisarvoja , ${\displaystyle a_{i}^{\dagger ))$ ${\displaystyle a_{i}^{\,))$

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

yksikköä kohti, analogisesti harmonisen oskillaattorin kanssa. Alaindeksit (esimerkiksi ) edustavat kvanttilukuja , jotka ilmaisevat järjestelmän yhden hiukkasen tiloja; siksi ne eivät välttämättä ole yksittäisiä numeroita. Esimerkiksi kvanttilukujen monikkoa käytetään edustamaan vetyatomin tiloja . $i$ ${\näyttötyyli (n,l,m,s)}$

Luomis- ja tuhoamisoperaattoreiden kommutaatiosuhteet järjestelmässä, jossa on useita bosoneja , ovat

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\tikari }-a_{j}^ {\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

missä on kommutaattori ja Kronecker- symboli . $[\ \ ,\ \ ]$ $\delta _{{ij}}$

Fermioneissa kommutaattori korvataan antikommutaattorilla , ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \))$

\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\tikari }+a_{j }^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\} =0.

Siksi ei-päällekkäisten (eli ) operaattoreiden vaihtaminen luomis- tai tuhoamisoperaattoreissa muuttaa etumerkkiä fermionisysteemeissä, mutta ei bosonijärjestelmissä. $i\neq j$

Jos i :llä merkityt tilat ovat Hilbert-avaruuden H ortonormaali kanta , niin tämän konstruktion tulos on sama kuin edellisen osan CCR-algebran ja CAR-algebran konstruktio. Jos ne edustavat ominaisvektoreita , jotka vastaavat jonkin operaattorin jatkuvaa spektriä, kuten QFT:n sitoutumattomille partikkeleille, niin tulkinta on hienovaraisempi.

Katso myös

Keskity tilaa
Segal–Bargman-avaruus
Optinen vaiheavaruus
Bogolyubovin muunnos
Holstein-Primakov-muunnos
Jordan–Wigner-muunnos
Jordanian kartoitus
Klein-muunnos
Kanoninen kommutaatiosuhde

Muistiinpanot

↑ Feynman, 1975 , s. 175.
↑ Bogolyubov, 1957 , s. 69.
↑ Dirac, PAMD (1927). Säteilyn emission ja absorption kvanttiteoria , Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
↑ Feynman, 1975 , s. 200-201.

Kirjallisuus

R. Feynman . Tilastollinen mekaniikka. - M .: Mir, 1975. - 407 s.
N. N. Bogolyubov ja D. V. Shirkov . Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1957. - 441 s.