Valinnan aksioomaa vastaavat lausunnot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Tässä artikkelissa tarkastellaan erilaisia muotoja ja todistetaan seuraavien lauseiden vastaavuus:

Näiden väitteiden ekvivalenssi tulee ymmärtää siinä mielessä, että mikä tahansa niistä yhdessä joukkoteorian Zermelo-Fraenkelin (ZF) aksioomijärjestelmän kanssa riittää todistamaan loput.

Zornin lemma ja Hausdorffin maksimiperiaate

Zornin lemman lausunnot ( eng. Zorn's Lemma ).

$\mathcal{ZL}_1.$ Poset, jossa millä tahansa ketjulla on yläraja, sisältää maksimielementin.

$\mathcal{ZL}_2.$ Jos jokaisella osittain järjestetyn joukon ketjulla on yläraja, niin jokaisella elementillä on jokin maksimi. $M$ $M$

$\mathcal{ZL}_3.$ Olkoon joukkojen perheellä se ominaisuus, että minkä tahansa joukkojen ketjun liitto on jälleen tämän perheen joukko. Sisältää sitten enimmäismäärän. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Hausdorffin maksimaalisen periaatteen lausunnot :

$\mathcal{HM}_1.$ Jokaisella asetuksella on maksimaalinen lineaarisesti järjestetty osajoukko

$\mathcal{HM}_2.$ Osittain järjestetyssä sarjassa jokainen ketju sisältyy joihinkin sen maksimiketjuihin.

Todistamme näiden ehdotusten vastaavuuden seuraavan kaavion mukaisesti:

\mathcal{ZL}_1 \quad \overset{(I)}{\Leftrightarrow} \quad \mathcal{ZL}_2 \quad \overset{(II)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_3 \quad \overset{(III)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_2 \quad \overset{(IV)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_1 \quad \overset{(V)}{ \Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_1

I.\;\mathcal{ZL}_1 {\Leftrightarrow} \mathcal{ZL}_2

On selvää, että seuraa , koska suurempi on väitetty: on suurin elementti suurempi kuin annettu . Päinvastoin, anna olla poset, jossa jokainen ketju on yläraja, ja anna . Haetaan settiä . Sen maksimielementti on myös maksimielementti ja lisäksi täyttää ehdon . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathcal{ZL}_2$ $\mathcal{ZL}_2$ $a$ $M$ $a \ in M$ $\mathcal{ZL}_1$ $M^{'} = \{ m \in M \mid m \geqslant a\}$ ${\overline {a}}$ $M$ $a \leqslant \overline{a}$

II.\;\mathcal{ZL}_2 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_3

Joukkoperhe on osittain järjestetty joukko-teoreettisen inkluusiosuhteen mukaan . Jokaisella joukkojen ketjulla on yläraja - se on joukko , joka oletuksena kuuluu järjestelmään . Tästä johtuen perheellä on maksimielementti, eli joukko, joka on inkluusioon nähden maksimaalinen. $\mathfrak{M}$ $\subseteq$ $\{M_{\alpha}\}$ $\bigcup M_{\alpha}$ $\mathfrak{M}$ $\mathcal{ZL}_2$

III.\;\mathcal{ZL}_3 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_2

Antaa olla osittain järjestetty joukko, olla ketju , Ja olla joukko kaikki ketjut sisältävät , Tilattu osalta osallisuutta. Maksimaalisen ketjun olemassaolo, joka sisältää nyt, seuraa lausekkeesta , sovellettaessa , ja siitä tosiasiasta, että ketjun kaikkien joukkojen liitto ("ketjujen ketju") on jälleen joukko . $M$ $C_{0}$ $M$ $\mathfrak{M}$ $M$ $C_{0}$ $C_{0}$ $\mathcal{ZL}_3$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

IV.\;\mathcal{HM}_2 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_1

Ilmeisesti. on erikoistapaus, kun alkuperäinen ketju on tyhjä sarja . $\mathcal{HM}_1$ $\mathcal{HM}_2$ $\varno mitään$

V.\;\mathcal{HM}_1 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_1

Olkoon osittain järjestetty joukko tilassa . Harkitse maksimaalinen ketju , jonka olemassaolo seuraa . Oletuksena tällä ketjulla on yläraja . Sitten on suurin elementti , ja lisäksi kuuluu ketjuun. Olettaen päinvastaista, tulemme ristiriitaan maksimiehdon kanssa . $M$ $\mathcal{ZL}_1$ $C$ $M$ $\mathcal{HM}_1$ ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $M$ $C$

Nämä väitteet todistavat Hausdorffin maksimiperiaatteen ja Zornin lemman vastaavuuden.

Zermelon lause

Zermelon lauseen lause ( Well Järjestysperiaate )

$\mathcal{WO}.$ Mikä tahansa setti voidaan tilata hyvin.

\mathcal{ZL}_1 \Rightarrow \mathcal{WO}

Antaa olla mielivaltainen annettu joukko. Osoittakaamme, että se voidaan tilata kokonaan. $M$

Tarkastellaan kaikkien parien joukkoa , jossa , ja on kokonaisjärjestyksen relaatio . Joukossa otamme käyttöön luonnollisen järjestyksen suhteen: seuraa , jos on alkusegmentti , eli jos joillekin ja joukossa relaatio on sama kuin . $\mathfrak{M}$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A\subseteq M$ $\leqslant_A$ $A$ $\mathfrak{M}$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $A = \{ a \in B: a < b\}$ $b\in B$ $A$ $\leqslant_B$ $\leqslant_A$

Seuraavaksi todistamme kaksi väitettä.

I. B: ssä on maksimielementti. $\mathfrak{M}$ Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että jos on ketju in , niin kaikkien elementtien liitto on myös elementti , joka on ketjun yläraja . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $C \in \mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{C}$

II. Jos on suurin elementti, niin $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A=M$ . Jos se olisi ei-tyhjä, niin ottamalla jokin elementti ja laittamalla mikä tahansa saamme hyvin järjestetyn joukon , jonka alkusegmentti on . Tämä on ristiriidassa maksimioletuksen kanssa . $M \setminus A$ $b \in M \setminus A$ $b>a$ $a\in A$ ${\displaystyle A\cup \{b\))$ $A$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$

Meillä on siis hyvin tilattu setti . Q.E.D. $\langle M, \leqslant_M \rangle$

\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{HM}_1

Olkoon osittain tilattu setti. Zermelon lauseen perusteella joukko voidaan järjestää kokonaan. Antaa olla hyvin järjestettävä suhde . $\langle M, \preceq \rangle$ $M$ $\leqslant$ $M$

Määrittelemme joukon osion kahdeksi osajoukoksi induktiolla hyvin järjestetyssä joukossa (tätä menetelmää kutsutaan myös transfinite-rekursioksi ). $M$ $C$ $\overline{C}$ $\langle M, \leqslant \rangle$

Antaa ja kaikki elementit on jo viitattu joko tai . Viittaamme siihen, jos se on verrattavissa kaikkiin ; muussa tapauksessa viittaamme siihen . $a \ in M$ $b<a$ $C$ $\overline{C}$ $a$ $C$ $C$ $\overline{C}$

Suorittamalla induktiivinen rakentaminen hyvin järjestetylle joukolle tällä tavalla saadaan joukot ja . Kuten rakenteesta näkyy , ketju sisään . Lisäksi on selvää, että se on maksimi. Olemme siis todistaneet Hausdorffin maksimiperiaatteen. $\langle M, \leqslant \rangle$ $C$ $\overline{C}$ $C$ $\langle M, \preceq \rangle$

Valinnan aksiooma

Valinnan aksiooman muotoilu .

$\mathcal{AC}.$ Jokaiselle ei-tyhjien joukkojen perheelle on valintafunktio , eli $\{S_{\alpha}\}, \alpha \in A$ $f$ $\forall\alpha\; f(\alpha) \in S_{\alpha}$

Riittää, kun todistetaan yhden lauseen ekvivalenssi . Alla on kuitenkin joitain todisteita. $\mathcal{AC}$ $\mathcal{ZL}, \mathcal{HM}, \mathcal{WO}$

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

Katso Hausdorffin tai Kuroshin kirja

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{HM}$

Päättely on samanlainen kuin todistuksessa käytetty . $\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

$\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Järjestetään jokainen , ja määritetään sitten valintafunktio joukon vähimmäiselementiksi: $\{S_{\alpha}\}$

f(\alpha) = \min S_{\alpha}

$\mathcal{ZL} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Katso Kuroshin kirja

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M . : "NAUKA", 1977. - 368 s.
Kolmogorov AN, Fomin SV Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - 7. painos - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta. - 2. painos - M . : "NAUKA", 1973. - 400 s.
Hausdorff F. Joukkoteoria. - 4. painos - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .