Väärennetty projektiolentokone

Väärä projektiivinen taso (tai Mumford-pinta ) on yksi 50 kompleksisesta algebrallisesta pinnasta , joilla on samat Betti-luvut kuin projektiivitasolla , mutta jotka eivät ole sille homeomorfisia . Tällaiset objektit ovat aina yleisalgebrallisia pintoja .

Historia

Severi kysyi, onko olemassa monimutkaisia pintoja, jotka ovat homeomorfisia projektiivitasolle, mutta eivät biholomorfisia sille. Yau [1] osoitti, että tällaisia pintoja ei ole, joten lähin approksimaatio projektiivitasolle voisi olla pinnat, joilla on samat Betti-luvut kuin projektiivitasolla. ${\näyttötyyli (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,0,1,0,1)}$

Ensimmäisen esimerkin löysi Mumford [2] käyttämällä Kuriharan ja Mustafinin itsenäisesti käyttöönottamaa p - adic -uniformointia. Mumford huomasi myös, että Yaun tulos ja Weilin teoreema PU(1,2):n kompaktien alaryhmien jäykkyydestä viittaavat siihen, että vääriä projektiivitasoja on vain äärellinen määrä. Ishida ja Kato [3] löysivät kaksi muuta esimerkkiä samankaltaisilla menetelmillä, ja Kim [4] löysi esimerkin 7:n asteen automorfismista, joka on birationaalinen Dolgachevin pinnan asteen 7 sykliseen peittoon nähden . Prasad ja Yen [5] [6] löysivät systemaattisen tavan luokitella kaikki väärät projektiiviset tasot osoittamalla, että luokkaa on 28, joista jokainen sisältää vähintään yhden esimerkin väärästä projektiivitasosta aina isometriaan asti, ja että viisi muuta luokkaa olemassa, mutta myöhemmin osoitettiin, että tällaisia luokkia ei ole. Kaikkien väärien projektiivisten tasojen numeroinnin ongelma rajoittuu kuhunkin luokkaan liittyvän eksplisiittisesti annetun hilan sopivan indeksin kaikkien alaryhmien luetteloimiseen. Laajentamalla näitä laskelmia Cartwright ja Stager [7] osoittivat, että 28 luokkaa tyhjentävät kaikki mahdollisuudet väärille projektiivisille tasoille ja että on olemassa yhteensä 50 esimerkkiä, jotka on määritelty isometriaan asti, tai 100 väärää projektiivista biholomorfismien tasoa.

Yleisellä pinnalla, jolla on samat Betti-luvut kuin minimaalisella ei-yleisellä pinnalla, täytyy olla Betti-luvut joko projektiivitasosta P 2 tai neliöstä P 1 × P 1 . Shavel [8] rakensi joitain "vääriä neliöitä" - yleisen tyyppisiä pintoja, joilla oli samat Betti-luvut kuin neliöissä. Beauville-pinnat tarjoavat lisää esimerkkejä.

Väärien projektiivisten pintojen vastineita korkeammissa ulottuvuuksissa kutsutaan vääriksi projektioavaruiksi .

Perusryhmä

Aubinin ja Yaun työstä Calabi-oletuksen ratkaisemiseksi negatiivisen Ricci-kaarevuuden tapauksessa [1] [9] seurauksena mikä tahansa väärä projektiivinen taso on kompleksisen yksikköpallon tekijä diskreetillä alaryhmällä , joka on väärän projektiivitason perusryhmä . Tämän perusryhmän on siksi oltava vääntövapaa ja oltava PU(2,1):n yhteiskompakti diskreetti alaryhmä, jolla on Euler-Poincarén ominaisuus 3. Klingler [10] ja Jahn [11] osoittivat, että tämän perusryhmän on oltava myös aritmeettinen ryhmä . Mostovoyn tiukkaa jäykkyyttä koskevista tuloksista seuraa , että perusryhmä määrittelee väärän tason tiukassa mielessä, eli että minkä tahansa kompaktin pinnan, jolla on sama perusryhmä, on oltava sille isometrinen.

Kahden väärän projektiivisen tason katsotaan kuuluvan samaan luokkaan , jos niiden perusryhmät sisältyvät samaan yksikköpallon maksimaaliseen aritmeettiseen automorfismiin alaryhmään. Prasad ja Yen [5] [6] käyttivät Prasadan tilavuuskaavaa [12] aritmeettisille ryhmille 28 ei-tyhjän väärän projektiivitason luokan luetteloon ja osoittivat, että muita luokkaa voi olla enintään viisi, joita ei todennäköisesti ole olemassa. (katso artikkelin liite , jossa luokitusta on päivitetty ja joitain alkuperäisen artikkelin virheitä on korjattu).

Cartwright ja Staeger [7] vahvistivat, että näitä lisäluokkia ei todellakaan ole olemassa ja listasivat kaikki 28 luokan mahdollisuudet. Väärää projektiivista tasoa on täsmälleen 50 isometriaan asti, ja siten 100 erilaista väärää projektiivista tasoa biholomorfismiin asti.

Väärän projektiivitason perusryhmä on ryhmän PU(2,1) aritmeettinen aliryhmä. Merkitsemme k :llä siihen liittyvää numerokenttää (täysin reaalista) ja G :llä siihen liittyvää ryhmän PU(2,1) k -muotoa. Jos l on neliöllinen laajennus kentästä k , jonka päällä G on sisämuoto, niin l on täysin imaginaarinen kenttä. On olemassa jakolalgebra D , jonka keskipiste l ja aste yli l 3 tai 1, jossa on toisen tyyppinen involuutio , joka rajoittuu ei-triviaaliseen automorfismiin l yli k , ja ei-triviaali Hermitian muoto D :n yläpuolella olevassa moduulissa , jonka ulottuvuus on 1 tai 3 siten, että G on erityinen unitaarinen ryhmä tässä hermiittisessä muodossa. (Prasadin ja Yenin [5] sekä Cartwrightin ja Staegerin työn seurauksena D :llä on aste 3 yli l : n ja moduulin ulottuvuus 1 yli D .) Kentällä k on yksi reaalipaikka siten, että muodon G pisteet muodostavat kopion ryhmästä PU (2.1), ne muodostavat kompaktin ryhmän PU(3) kaikkien muiden kentän k todellisten paikkojen päälle.

Prasadin ja Yenin [5] tuloksesta seuraa , että väärän projektiivitason automorfismiryhmä on joko 1, 3 tai 7 syklinen ryhmä tai ei-syklinen 9-kertainen ryhmä tai ei-abelilainen ryhmä. järjestyksessä 21. Näiden ryhmien väärien projektiivisten tasojen tekijöitä tutkivat Kim [13] , Cartwright ja Staeger [7] .

Luettelo 50 väärennetystä projektiivitasosta

k	l	T	Indeksi	Väärät projektiiviset tasot
K	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-1)))$	5	3	3 väärennettyä lentokonetta 3 luokassa
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-2)))$	3	3	3 väärennettyä lentokonetta 3 luokassa
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7)))$	2	21	7 väärennettyä lentokonetta kahdessa luokassa. Yksi näistä luokista sisältää esimerkkejä Mumfordista ja Kimistä.
		2, 3	3	4 väärennettyä lentokonetta kahdessa luokassa
		2.5	yksi	2 väärennettyä lentokonetta 2 luokassa
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-15)))$	2	3	10 väärennettyä lentokonetta 4 luokassa, mukaan lukien Ishidan ja Katon löytämät esimerkit.
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-23)))$	2	yksi	2 väärennettyä lentokonetta 2 luokassa
$\mathrm {Q} ({\sqrt {2}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7+4{\sqrt {2))))}$	2	3	2 väärennettyä lentokonetta 2 luokassa
$\mathrm {Q} ({\sqrt {5}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {5)),\zeta _{3})$	2	9	7 väärennettyä lentokonetta kahdessa luokassa
$\mathrm {Q} ({\sqrt {6}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {6)),\zeta _{3})$	2 tai 2.3	1 tai 3 tai 9	5 väärennettyä lentokonetta 3 luokassa
$\mathrm {Q} ({\sqrt {7}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {7)),\zeta _{4})$	2 tai 3.3	21 tai 3.3	5 väärennettyä lentokonetta 3 luokassa

k on täysin todellinen kenttä.
l on kentän k täysin imaginaarinen neliölaajennus ja ζ 3 on luvun 1 kuutiojuuri.
T on kentän k alkulukujen joukko , jossa jokin paikallinen aliryhmä ei ole hyperpallomainen.
indeksi on perusryhmän indeksi jossakin aritmeettisessa ryhmässä.

Kirjallisuus

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Luettelo 50 väärennetystä projektiivitasosta // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . - S. 11-13 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Masa-Nori Ishida, Fumiharu Kato. Vahva jäykkyysteoreema ei-arkhimedesiselle yhdenmukaistamiselle // The Tohoku Mathematical Journal. toinen sarja. - 1998. - T. 50 , no. 4 . — S. 537–555 . - doi : 10.2748/tmj/1178224897 .
jonghae keum. Väärennetty projektiivinen taso, jonka automorfismi on 7 // Topologia. kansainvälinen matematiikan lehti . - 2006. - T. 45 , no. 5 . — S. 919–927 . - doi : 10.1016/j.top.2006.06.006 .
jonghae keum. Väärennettyjen projektiivisten tasojen osamäärät // Geometry & Topology. - 2008. - T. 12 , no. 4 . — S. 2497–2515 . - doi : 10.2140/gt.2008.12.2497 . - arXiv : 0802.3435 .
Bruno Klingler. 1 . - doi : 10.1007/s00222-002-0283-2 .
Kulikov V.S., Kharlamov. V. M., Oikeilla rakenteilla jäykillä pinnoilla , Izv. RAS .. - 2002. - T. 66 , no. 1 . - S. 133-152 .
David Mumford . Algebrallinen pinta, jossa K ample, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101 , no. 1 . — S. 233–244 . - doi : 10.2307/2373947 . — .
Gopal Prasad. Puoliyksinkertaisten ryhmien S-aritmeettisten osamäärien volyymit // Julkaisut Mathématiques de l'IHÉS . - 1989. - Numero. 69 . — s. 91–117 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Väärennetyt projektiivitasot // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , no. 2 . — S. 321–370 . - doi : 10.1007/s00222-007-0034-5 . - arXiv : math/0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Lisäys artikkeliin "Fake projective planes" // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , no. 1 . — S. 213–227 . - doi : 10.1007/s00222-010-0259-6 .
Remy R. Covolume des groupes S-arith meiques et faux plans projectifs, (d'apres Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) // —. - 2007. - T. 984 . Arkistoitu alkuperäisestä 9. kesäkuuta 2011.
Ira H. Shavel. Kvaternionalgebroista muodostettu yleistyyppisten algebrallisten pintojen luokka // Pacific Journal of Mathematics . - 1978. - T. 76 , no. 1 . — S. 221–245 . - doi : 10.2140/pjm.1978.76.221 .
Shing Tung Yau. Calabin arvelu ja joitain uusia tuloksia algebrallisessa geometriassa // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United of America . - National Academy of Sciences, 1977. - V. 74 , no. 5 . - S. 1798-1799 . - doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. Kompaktin Kähler-jakoputken Ricci-kaarevuus ja monimutkainen Monge-Ampère-yhtälö. I // Puhtaan ja sovelletun matematiikan viestintä . - 1978. - T. 31 , no. 3 . — S. 339–411 . - doi : 10.1002/cpa.3160310304 .
Sai Kee Yeung. Kompaktin hilan eheys ja aritmeettisuus, jotka vastaavat Picard numero 1:n monimutkaisia tiettyjä kahden pallon osamääriä // Asian Journal of Mathematics. - 2004. - T. 8 , no. 1 . — s. 107–129 . - doi : 10.4310/ajm.2004.v8.n1.a9 .
Sai Kee Yeung. Väärennettyjen projektiivitasojen luokitus // Geometrisen analyysin käsikirja, nro. 2 . — Int. Press, Somerville, MA, 2010, osa 13, s. 391–431. - (Adv. Lect. Math. (ALM)).

Linkit

Gopal Prasad. Väärennetyt projektiiviset tilat .